《2025年创新设计高考总复习物理人教版》

例4(2024·辽宁大连高三期末)如图5所示，虚线MO与水平线PQ相交于点O，二者夹角θ = 30°，在MO右侧区域存在一矩形匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，MO为磁场的一条边界线。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子在纸面内沿某一方向以速度v从O点射入磁场，粒子从边界线MO射出时，速度方向平行于PQ向左。不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，求：

(1)粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径R及该粒子在边界线MO上的出射点到O点的距离L；
(2)粒子在磁场中的运动时间；
(3)矩形磁场区域的最小面积。
______________________________

答案：

(1)$\frac{mv}{qB}$ $\frac{mv}{qB}$
(2)$\frac{\pi m}{3qB}$
(3)$(\frac{2 - \sqrt{3}}{2})\frac{m^{2}v^{2}}{q^{2}B^{2}}$
解析
(1)粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，粒子在$MO$边界射出点为$N$
由洛伦兹力提供向心力得$qvB = m\frac{v^{2}}{R}$ ①
解得$R = \frac{mv}{qB}$ ②
由几何关系可知粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角$\alpha = 60^{\circ}$ ③
则$O$、$N$间的距离$L = R = \frac{mv}{qB}$。 ④
　　　
(2)设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为$T$，则
$T = \frac{2\pi R}{v}$ ⑤
粒子在匀强磁场中运动的时间为$t = \frac{\alpha}{360^{\circ}}T$ ⑥
联立②③⑤⑥解得$t = \frac{\pi m}{3qB}$。 ⑦
(3)由题知矩形磁场面积最小范围应是如图所示的矩形，设其长、宽分别为$d_{1}$、$d_{2}$
则$d_{1}=L$ ⑧
由几何关系知$d_{2}=R(1 - \cos30^{\circ})$ ⑨
磁场最小面积$S = d_{1}d_{2}$ ⑩
联立②④⑧⑨⑩解得$S = (\frac{2 - \sqrt{3}}{2})\frac{m^{2}v^{2}}{q^{2}B^{2}}$。

（多选）如图6所示，边界OA与OC之间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，∠AOC = 60°。边界OA上距O点l处有一粒子源S，可发射质量为m，带正电荷q的等速粒子。当S沿纸面向磁场各个方向发射粒子，发现都没有粒子从OC边界射出。则（ ）


A.粒子的最大发射速率不超过$\frac{\sqrt{3}qBl}{4m}$
B.粒子的最大发射速率不超过$\frac{(2\sqrt{3}-3)qBl}{m}$
C.粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为l
D.粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为$\frac{\sqrt{3}l}{2}$

答案：
AD [要使没有粒子从$OC$边界射出，沿如图路线运动的粒子刚好不离开磁场，速率最大，满足$r = \frac{mv}{qB}$，由几何关系知$r=\frac{1}{2}l\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{4}l$，则$v = \frac{\sqrt{3}qBl}{4m}$，故A正确，B错误；粒子速度$v = \frac{\sqrt{3}qBl}{4m}$，从$OA$边界离开磁场时离$S$最远距离$d = 2r = l\cdot\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}l$，故C错误，D正确。]