《2025年创新设计高考总复习物理人教版》

例1（2024·河北石家庄模拟）如图1所示，在平面直角坐标系内有边长为$L$的正方形$Oabc$，$O$为坐标原点，$Oa$边和$x$轴重合，$e$、$f$、$g$、$h$为四边中点，正方形$Oabc$上半区域存在垂直于纸面向外的匀强磁场（未画出），下半区域存在垂直于纸面向里的匀强磁场，上、下两半区域内磁感应强度大小相等。一个不计重力、质量为$m$、电荷量绝对值为$q$、带负电的粒子从$h$点以速度$v_{0}$沿与$hg$成$\theta = 30^{\circ}$角进入磁场，之后恰好从$n$点进入上半区域的磁场。
　　　　　　　　　　　　　
（1）求磁场区域内磁感应强度的大小；
（2）粒子离开磁场区域后打中$y$轴上的$P$点，求$P$点的坐标以及粒子从$h$点运动到$P$点的时间。

答案：
例1
(1)$\frac{2mv_{0}}{qL}$　
(2)$(0,L+\frac{\sqrt{3}}{2}L)$　$\frac{\pi L}{3v_{0}}+\frac{L}{v_{0}}$
解析　
(1)在下半区域，由几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为$R = \frac{L}{2}$
由$qv_{0}B = m\frac{v_{0}^{2}}{R}$
解得$B = \frac{2mv_{0}}{qL}$。
(2)粒子经过$n$点时速度方向也和$hg$成$30^{\circ}$角进入上半区域，恰好经过$g$点，由几何关系可知$Pc = gc\cdot\tan60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}L$，
$OP = Oc + Pc = L+\frac{\sqrt{3}}{2}L$
所以$P$点的坐标为$(0,L+\frac{\sqrt{3}}{2}L)$
粒子在磁场中的运动周期为$T = \frac{2\pi R}{v_{0}}=\frac{\pi L}{v_{0}}$
粒子在下半区域运动的时间$t_{1}=\frac{1}{6}T=\frac{\pi L}{6v_{0}}$，在上半区域运动的时间$t_{2}=\frac{1}{6}T=\frac{\pi L}{6v_{0}}$
粒子射出磁场区域后运动到$P$点的时间
$t_{3}=\frac{gP}{v_{0}}=\frac{gc}{\cos60^{\circ}\cdot v_{0}}=\frac{L}{v_{0}}$
所以粒子从$h$点运动到$P$点的时间为
$t = t_{1}+t_{2}+t_{3}=\frac{\pi L}{3v_{0}}+\frac{L}{v_{0}}$。

如图2，空间存在方向垂直于纸面（$xOy$平面）向里的磁场。在$x\geqslant0$区域，磁感应强度的大小为$B_{0}$；$x＜0$区域，磁感应强度的大小为$\lambda B_{0}$（常数$\lambda＞1$）。一质量为$m$、电荷量为$q$（$q＞0$）的带电粒子以速度$v_{0}$从坐标原点$O$沿$x$轴正向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次沿$x$轴正向时（不计重力），求：
　　　　　　　　　　　　　
（1）粒子运动的时间；
（2）粒子与$O$点间的距离。

答案： 跟踪训练
(1)$\frac{\pi m}{qB_{0}}(1+\frac{1}{\lambda})$　
(2)$\frac{2mv_{0}}{qB_{0}}(1 - \frac{1}{\lambda})$
解析　
(1)在匀强磁场中，带电粒子做匀速圆周运动。设在$x\geq0$区域，圆周半径为$r_{1}$；在$x\lt0$区域，圆周半径为$r_{2}$。由洛伦兹力提供向心力得$qv_{0}B_{0}=m\frac{v_{0}^{2}}{r_{1}}$　①
$qv_{0}\lambda B_{0}=m\frac{v_{0}^{2}}{r_{2}}$　②
设粒子在$x\geq0$区域运动的时间为$t_{1}$，则$t_{1}=\frac{\pi r_{1}}{v_{0}}$　③
粒子在$x\lt0$区域运动的时间为$t_{2}$，则$t_{2}=\frac{\pi r_{2}}{v_{0}}$　④
联立①②③④式得，所求时间为$t = t_{1}+t_{2}=\frac{\pi m}{qB_{0}}(1+\frac{1}{\lambda})$。　⑤
(2)由几何关系及①式得，所求距离为
$d = 2(r_{1}-r_{2})=\frac{2mv_{0}}{qB_{0}}(1 - \frac{1}{\lambda})$。