《2025年创新设计高考总复习物理人教版》

例2 如图4，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒，可沿导轨下滑，且在下滑过程中始终保持与导轨垂直接触良好。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：
(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；
(2)金属棒的速度大小随时间变化的关系。
　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
(1)$Q = CBLv$
(2)$v=\frac{m(\sin\theta-\mu\cos\theta)gt}{m + B^{2}L^{2}C}$
解析
(1)设金属棒下滑的速度大小为v，则感应电动势为$E = BLv$
平行板电容器两极板之间的电势差为$U = E$
设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，按定义有$C=\frac{Q}{U}$，联立可得$Q = CBLv$。
(2)设金属棒的速度大小为v时，经历的时间为t，通过金属棒的电流为I，金属棒受到的磁场力方向沿导轨向上，大小为$F = ILB = CB^{2}L^{2}a$
金属棒所受到的摩擦力方向沿导轨斜面向上，大小为$F_{f}=\mu F_{N}$，式中$F_{N}=mg\cos\theta$，金属棒在时刻t的加速度方向沿斜面向下，设其大小为a，根据牛顿第二定律有$mg\sin\theta - F - F_{f}=ma$
联立上式可得$a=\frac{m(\sin\theta-\mu\cos\theta)g}{m + B^{2}L^{2}C}$
则金属棒做初速度为零的匀加速运动，t时刻金属棒的速度大小为$v = at=\frac{m(\sin\theta-\mu\cos\theta)gt}{m + B^{2}L^{2}C}$。

例3（多选）(2024·山东潍坊模拟)如图5(a)，两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，底端接有一阻值为R的电阻。将一质量为m、阻值为R、长度也为L的金属棒通过绝缘细绳悬挂在距离导轨底端h高度处。空间中存在方向垂直于导轨平面向里的匀强磁场，其磁感应强度B随时间t变化，如图(b)所示。已知在$t_{0}$时刻，细绳刚好断开，金属棒开始向下运动，下落高度为d时达到最大速度(d＜h)。金属棒始终与轨道垂直且保持良好接触，重力加速度为g，则下列说法正确的是
　　　
A.金属棒下落的最大速度为$\frac{2mgR}{B_{0}^{2}L^{2}}$
B.金属棒运动过程中机械能守恒
C.细绳断裂前电路的总功率为$\frac{B_{0}^{2}h^{2}L^{2}}{2Rt_{0}^{2}}$
D.细绳断裂后至金属棒达到最大速度的过程中，电路中产生的总热量为$\frac{2m^{3}g^{2}R^{2}}{B_{0}^{4}L^{4}}$

答案： AC [金属棒在下落的运动中，受重力和安培力的作用，由静止开始做加速度减小的加速运动，当加速度减小到零时，金属棒的速度最大，此时重力与安培力大小相等，则有$F_{安}=ILB_{0}=mg$，其中$I=\frac{B_{0}Lv_{m}}{R + R}$，解得$v_{m}=\frac{2mgR}{B_{0}^{2}L^{2}}$，A正确；金属棒运动过程中有重力做正功，安培力做负功，机械能不守恒，B错误；细绳断裂前，由法拉第电磁感应定律可得，感应电动势大小为$E=\frac{\Delta\varPhi}{\Delta t}=\frac{\Delta B}{\Delta t}\cdot hL=\frac{B_{0}hL}{t_{0}}$，由电功率公式，可得电路的总功率为$P=\frac{E^{2}}{R + R}=\frac{B_{0}^{2}h^{2}L^{2}}{2Rt_{0}^{2}}$，C正确；金属棒向下运动到达到最大速度的过程中，由能量守恒定律可得$mgd=\frac{1}{2}mv_{m}^{2}+Q$，则电路中产生的总热量为$Q = mgd-\frac{1}{2}mv_{m}^{2}=mgd-\frac{2m^{3}g^{2}R^{2}}{B_{0}^{4}L^{4}}$，D错误。]