《2025年创新设计高考总复习物理人教版》

例2（多选）如图2所示，两质量相等的卫星$A、B$绕地球做匀速圆周运动，用$R、T、E_k、S$分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正确的有（ ）

A.$T_A＞T_B$ B.$E_{kA}＞E_{kB}$
C.$S_A = S_B$ D.$\frac{R_A^3}{T_A^2}=\frac{R_B^3}{T_B^2}$

答案： AD [根据开普勒第三定律知，A、D正确；由$\frac{GMm}{R^{2}}=\frac{mv^{2}}{R}$和$E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$可得$E_{k}=\frac{GMm}{2R}$，因$R_{A}＞R_{B}$，$m_{A}=m_{B}$，则$E_{kA}＜E_{kB}$，B错误；根据开普勒第二定律知，同一轨道上的卫星绕地球做匀速圆周运动，与地心连线在单位时间内扫过的面积相等，对于卫星A、B，$S_{A}$不等于$S_{B}$，C错误。]

例3（2023·新课标卷，17）2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约5800 kg的物资进入距离地面约400 km（小于地球同步卫星与地面的距离）的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资（ ）
A.质量比静止在地面上时小
B.所受合力比静止在地面上时小
C.所受地球引力比静止在地面上时大
D.做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大

答案： D [物体的质量由物体本身决定，与其所处位置、状态均无关，A错误；物资所受地球引力的大小$F = G\frac{m_{地}m}{r^{2}}$，故其所受地球引力比静止在地面上时小，C错误；空间站轨道半径小于地球同步卫星轨道半径，由开普勒第三定律可知，物资做圆周运动的周期小于地球同步卫星的周期，所以物资做圆周运动的角速度大于地球自转角速度，D正确；物资所受合力即为其做圆周运动的向心力，由向心力公式$F_{n}=m\omega^{2}r$可知，对接后物资所受合外力比静止在地面上时的大，B错误。]

例4 有一质量为$M$、半径为$R$、密度均匀的球体，在距离球心$O$为$2R$的地方有一质量为$m$的质点。现从球体中挖去半径为$0.5R$的小球体，如图3所示，引力常量为$G$，则剩余部分对$m$的万有引力为（ ）

A.$\frac{7GMm}{36R^2}$ B.$\frac{14GMm}{63R^2}$ C.$\frac{343GMm}{2048R}$ D.$\frac{343GMm}{2048R^2}$

答案： A [挖去小球前球与质点的万有引力$F_{1}=G\frac{Mm}{(2R)^{2}}=\frac{GMm}{4R^{2}}$，挖去的球体的质量$M'=\frac{\frac{4}{3}\pi(\frac{R}{2})^{3}}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}M=\frac{M}{8}$，被挖部分对质点的引力为$F_{2}=\frac{G\frac{1}{8}Mm}{(\frac{3R}{2})^{2}}=\frac{GMm}{18R^{2}}$，则剩余部分对质点m的万有引力$F = F_{1}-F_{2}=\frac{7GMm}{36R^{2}}$，故A正确。]

例5（2024·广东广州高三期中）2020年9月，我国明确提出2030年“碳达峰”与2060年“碳中和”目标。人类社会的快速进步使得碳排放量不断增加，这导致温室效应加剧，地球南北两极的生态环境遭到一定的破坏。一头质量为$m$的北极熊在失去家园后，被运送到了位于赤道上的北极熊馆加以照料，它在北极和馆内的重力差为$\Delta F$。已知地球自转周期为$T$。根据以上信息，可求出地球的半径为（ ）
A.$\frac{T^2·\Delta F}{4\pi^2m}$ B.$\frac{T^2·\Delta F}{2\pi^2m}$
C.$\frac{mT^2·\Delta F}{4\pi^2}$ D.$\frac{mT^2}{4\pi^2·\Delta F}$

答案： A [设地球的质量为$m_{地}$，北极熊在赤道上时，万有引力的一部分提供向心力，即$\frac{Gm_{地}m}{R^{2}}-mg = m(\frac{2\pi}{T})^{2}R$，北极熊在北极时，有$\frac{Gm_{地}m}{R^{2}} = mg'$，根据题意，有$\Delta F = m(\frac{2\pi}{T})^{2}R$，得$R=\frac{T^{2}\cdot\Delta F}{4\pi^{2}m}$，A正确，B、C、D错误。]