《2025年创新设计高考总复习物理人教版》

例1（2023·江苏卷，16）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图1所示的模型。$Oxy$平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为$B$。质量为$m$、电荷量为$e$的电子从$O$点沿$x$轴正方向水平入射。入射速度为$v_0$时，电子沿$x$轴做直线运动；入射速度小于$v_0$时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。

(1)求电场强度的大小$E$；
(2)若电子入射速度为$\frac{v_0}{4}$，求运动到速度为$\frac{v_0}{2}$时位置的纵坐标$y_1$；
(3)若电子入射速度在$0 ＜ v ＜ v_0$范围内均匀分布，求能到达纵坐标$y_2=\frac{mv_0}{5eB}$位置的电子数$N$占总电子数$N_0$的百分比。

答案：
(1)$Bv_{0}$
(2)$\frac{3mv_{0}}{32eB}$
(3)90%
解析
(1)电子沿x轴正方向做直线运动，则电子受平衡力的作用，即$eE = ev_{0}B$
解得$E = Bv_{0}$。
(2)电子在电场和磁场叠加场中运动，受洛伦兹力和电场力的作用，只有电场力做功，则电子的速度由$\frac{v_{0}}{4}$到$\frac{v_{0}}{2}$的过程中，由动能定理得$eEy_{1}=\frac{1}{2}m(\frac{v_{0}}{2})^{2}-\frac{1}{2}m(\frac{v_{0}}{4})^{2}$
解得$y_{1}=\frac{3mv_{0}}{32eB}$。
(3)设电子的入射速度为$v_{1}$时刚好能到达纵坐标为$y_{2}=\frac{mv_{0}}{5eB}$的位置，此时电子在最高点的速度沿水平方向，且大小假设为$v_{2}$，则
电子在最低点的合力为$F_{1}=eE - ev_{1}B$
电子在最高点的合力为$F_{2}=ev_{2}B - eE$
由题意可知电子在最高点与最低点的合力大小相等，
即$F_{2}=F_{1}$
整理得$v_{1}+v_{2}=2v_{0}$
电子由最低点到最高点的过程，由动能定理得
$eEy_{2}=\frac{1}{2}mv_{2}^{2}-\frac{1}{2}mv_{1}^{2}$
整理得$v_{2}-v_{1}=\frac{v_{0}}{5}$
解得$v_{1}=\frac{9}{10}v_{0}$
又电子入射速度越小，电子运动轨迹的最高点对应的纵坐标越大，则能到$y_{2}=\frac{mv_{0}}{5eB}$的位置的电子数占总电子数的比例为
$\eta=\frac{N}{N_{0}}=\frac{v_{1}}{v_{0}}\times100\%$
解得$\eta = 90\%$。