《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

2. 小题热身
(1)若函数$y = 2\sin2x - 1$的最小正周期为$T$，最大值为$A$，则
A. $T=\pi,A = 1$
B. $T = 2\pi,A = 1$
C. $T=\pi,A = 2$
D. $T = 2\pi,A = 2$

答案： A $[T = \frac{2\pi}{2}=\pi,A = 2 - 1 = 1$. 故选 A.]

(2)(人教 B 必修第三册 7.3.4 例 1 改编)函数$y = 3\tan(2x+\frac{\pi}{4})$的定义域是________。

答案： 答案 $\left\{x\mid x\neq\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{8},k\in\mathbf{Z}\right\}$
解析 要使函数有意义，则$2x+\frac{\pi}{4}\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$，即$x\neq\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{8},k\in\mathbf{Z}$，所以函数的定义域为$\left\{x\mid x\neq\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{8},k\in\mathbf{Z}\right\}$.

(3)(人教 A 必修第一册 5.4.2 练习 T3 改编)函数$y = 4\sin x$在$[-\pi,\pi]$上的单调递减区间是________。

答案： $\left[-\pi,-\frac{\pi}{2}\right]$和$\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]$

(4)(人教 A 必修第一册习题 5.4 T4 改编)函数$y = 3 - 2\cos(x+\frac{\pi}{4})$的最大值为________，此时$x = $________。

答案： 答案 $5$ $\frac{3\pi}{4}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$
解析 函数$y = 3 - 2\cos(x+\frac{\pi}{4})$的最大值为$3 + 2 = 5$，此时$x+\frac{\pi}{4}=\pi+2k\pi,k\in\mathbf{Z}$，即$x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi(k\in\mathbf{Z})$.

例1　　函数$f(x)=\sqrt{\sin x}+\frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}}$的定义域为________.

答案： (-4,-π]∪[0,π]

1. 函数$f(x)=\ln(\cos x)$的定义域为（ ）
A. $(k\pi - \frac{\pi}{2},k\pi + \frac{\pi}{2}),k\in\mathbf{Z}$
B. $(k\pi,k\pi + \pi),k\in\mathbf{Z}$
C. $(2k\pi - \frac{\pi}{2},2k\pi + \frac{\pi}{2}),k\in\mathbf{Z}$
D. $(2k\pi,2k\pi + \pi),k\in\mathbf{Z}$

答案： C

例2　　函数$f(x)=\sin(-2x + \frac{\pi}{3})$在$[0,\pi]$上的单调递减区间为________.

答案： $[0,\frac{5\pi}{12}]$和$[\frac{11\pi}{12},\pi]$

2. (2022·北京高考)已知函数$f(x)=\cos^{2}x - \sin^{2}x$，则（ ）
A. $f(x)$在$(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6})$上单调递减
B. $f(x)$在$(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{12})$上单调递增
C. $f(x)$在$(0,\frac{\pi}{3})$上单调递减
D. $f(x)$在$(\frac{\pi}{4},\frac{7\pi}{12})$上单调递增

答案： C