《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

1. 概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
(1)平面内与两个定点$F_1,F_2$的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. （ ）
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形. （ ）
(3)$\frac{y^{2}}{m^{2}}+\frac{x^{2}}{n^{2}} = 1(m\neq n)$表示焦点在$y$轴上的椭圆. （ ）
(4)$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$与$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$的焦距相等. （ ）

答案：
(1)×
(2)√
(3)×
(4)√

2. 小题热身
(1)(人教 A 选择性必修第一册习题 3.1 T3 改编)已知椭圆$C:16x^{2}+4y^{2}=1$，则下列结论正确的是（ ）
A. 长轴长为$\frac{1}{2}$ B. 焦距为$\frac{\sqrt{3}}{4}$
C. 短轴长为$\frac{1}{4}$ D. 离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案：
(1)D [把椭圆方程$16x^{2}+4y^{2}=1$化为标准方程可得$\frac{y^{2}}{\frac{1}{4}}+\frac{x^{2}}{\frac{1}{16}} = 1$，所以$a = \frac{1}{2},b = \frac{1}{4},c = \frac{\sqrt{3}}{4}$，则长轴长$2a = 1$，焦距$2c = \frac{\sqrt{3}}{2}$，短轴长$2b = \frac{1}{2}$，离心率$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 故选 D.]

(2)(人教 A 选择性必修第一册习题 3.1 T5 改编)已知点$P$为椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$上的一点，$B_1$，$B_2$分别为椭圆的上、下顶点，若$\triangle PB_1B_2$的面积为 6，则满足条件的点$P$的个数为（ ）
A. 0 B. 2 C. 4 D. 6

答案：
(2)C [在椭圆$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$中，$a = 4,b = 3$，则短轴$|B_1B_2| = 2b = 6$，设椭圆上点$P$的坐标为$(m,n)$，由$\triangle PB_1B_2$的面积为 6，得$\frac{1}{2}|B_1B_2|\cdot|m| = 6$，解得$m = \pm 2$，将$m = \pm 2$代入椭圆方程，得$n = \pm\frac{3\sqrt{3}}{2}$，所以符合题意的点$P$的坐标为$(2,\frac{3\sqrt{3}}{2})$或$(2,-\frac{3\sqrt{3}}{2})$或$(-2,\frac{3\sqrt{3}}{2})$或$(-2,-\frac{3\sqrt{3}}{2})$，共 4 个满足条件的点$P$. 故选 C.]

(3)(人教 A 选择性必修第一册习题 3.1 T1 改编)已知点$M(x,y)$在运动过程中，总满足关系式$\sqrt{x^{2}+(y - 2)^{2}}+\sqrt{x^{2}+(y + 2)^{2}} = 8$，则点$M$的轨迹方程为________________.

答案：
(3)答案 $\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{16}=1$ 解析 因为$\sqrt{x^{2}+(y - 2)^{2}}+\sqrt{x^{2}+(y + 2)^{2}} = 8＞4$，所以点$M$的轨迹是以$(0,2),(0,-2)$为焦点的椭圆，设椭圆方程为$\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}} = 1(a＞b＞0)$，由题意得$2a = 8$，即$a = 4$，则$b^{2}=a^{2}-c^{2}=12$，所以点$M$的轨迹方程为$\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{16}=1$.

(4)(人教 A 选择性必修第一册习题 3.1 T4 改编)已知椭圆$C$的焦点在$x$轴上，且离心率为$\frac{1}{2}$，则椭圆$C$的方程可以为________________（写出满足题意的一个椭圆方程即可）.

答案：
(4)答案 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$(答案不唯一) 解析 因为焦点在$x$轴上，所以设椭圆的方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$，$a＞b＞0$，因为离心率为$\frac{1}{2}$，所以$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，所以$\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{4}$，则$\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{3}{4}$. 所以椭圆$C$的方程可以为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$(答案不唯一).

考向1　利用椭圆的定义求轨迹方程
例1　　(2024·山东烟台一中质检)已知圆$(x + 2)^{2}+y^{2}=36$的圆心为$M$,设$A$是圆上任意一点,$N(2,0)$,线段$AN$的垂直平分线交$MA$于点$P$,则动点$P$的轨迹方程为________.
　
[课堂笔记]　______________________________
[通性通法]
在求动点的轨迹时，如果能够判断动点的轨迹满足椭圆的定义，那么可以直接求解其轨迹方程.

答案： $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$

1.$\triangle ABC$的两个顶点为$A(-3,0)$,$B(3,0)$，$\triangle ABC$的周长为16,则顶点$C$的轨迹方程为(　　　)
A.$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1(y\neq0)$
　B.$\frac{y^{2}}{25}+\frac{x^{2}}{16}=1(y\neq0)$
C.$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1(y\neq0)$
　D.$\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{9}=1(y\neq0)$

答案： A

考向2　利用椭圆的定义解决焦点三角形问题
例2　　(1)如图，$\triangle ABC$的顶点$B$,$C$在椭圆$\frac{x^{2}}{3}+y^{2}=1$上，顶点$A$是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在$BC$边上，则$\triangle ABC$的周长是________.

答案：
(1)$4\sqrt{3}$

(2)设点$P$为椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{4}=1(a＞2)$上一点，$F_{1}$,$F_{2}$分别为$C$的左、右焦点，且$\angle F_{1}PF_{2} =60^{\circ}$，则$\triangle PF_{1}F_{2}$的面积为________.
[通性通法]
将定义和余弦定理结合使用可以解决焦点三角形的周长和面积问题.

答案：
(2)$\frac{4\sqrt{3}}{3}$