《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

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7.(2023·安徽安庆模拟)已知等比数列$\{ a_{n}\}$的公比为$q$，前$n$项和为$S_{n}$，若$q\gt0$，则$\frac{S_{1}+S_{3}}{S_{2}}$的最小值是____.

答案： 答案 2$\sqrt{2}$ - 1
解析 由题意知，$\frac{S₁ + S₃}{S₂}$=$\frac{a₁ + a₁ + a₂ + a₃}{a₁ + a₂}$=$\frac{2 + q + q²}{1 + q}$=$\frac{(q + 1)² - (q + 1)+2}{1 + q}$=q + 1+$\frac{2}{q + 1}$-1，又q＞0，则q + 1+$\frac{2}{q + 1}$-1≥2$\sqrt{2}$ - 1，当且仅当q=$\sqrt{2}$ - 1时，等号成立. 即$\frac{S₁ + S₃}{S₂}$的最小值是2$\sqrt{2}$ - 1.

例5　　$S_{n}$为等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，已知$a_{4}=9a_{2}$，$S_{3}=13$，且公比$q\gt0$.
(1)求$a_{n}$及$S_{n}$；
(2)是否存在常数$\lambda$，使得数列$\{ S_{n}+\lambda\}$是等比数列？若存在，求出$\lambda$的值；若不存在，请说明理由.

答案： 解 （1）易知q≠1，由题意可得$\begin{cases}a₁q³=9a₁q\\\frac{a₁(1 - q³)}{1 - q}=13\\q＞0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a₁=1\\q=3\end{cases}$，
∴aₙ=3ⁿ⁻¹，Sₙ=$\frac{1 - 3ⁿ}{1 - 3}$=$\frac{3ⁿ - 1}{2}$.
（2）假设存在常数λ，使得数列{Sₙ+λ}是等比数列，
∵S₁+λ=λ + 1，S₂+λ=λ + 4，S₃+λ=λ + 13，
∴(λ + 4)²=(λ + 1)(λ + 13)，
解得λ=$\frac{1}{2}$，此时Sₙ+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$×3ⁿ，
则$\frac{Sₙ₊₁+\frac{1}{2}}{Sₙ+\frac{1}{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}×3ⁿ⁺¹}{\frac{1}{2}×3ⁿ}$=3，
故存在常数λ=$\frac{1}{2}$，使得数列{Sₙ+$\frac{1}{2}$}是以$\frac{3}{2}$为首项，3为公比的等比数列.

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8.(2024·江西抚州一中质检)已知数列$\{ a_{n}\}$，$\{ b_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$b_{1}=\frac{1}{2}$，$2a_{n + 1}=a_{n}+\frac{1}{2}b_{n}$，$2b_{n + 1}=\frac{1}{2}a_{n}+b_{n}$.
(1)证明：数列$\{ a_{n}+b_{n}\}$，$\{ a_{n}-b_{n}\}$为等比数列；
(2)记$S_{n}$为数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，证明：$S_{n}\lt\frac{10}{3}$.

答案：