《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

例4 已知函数f(x)为定义在R上的函数，对任意的x∈R，均有f(x + 2)=f(2 - x)，且f(x)在[2,+∞)上单调递减，若f(-1)=0，则不等式f(x - 1)≥0的解集为 (　　　)
A. [-2,4]
B. [0,6]
C. [2,4]
D. [-4,6]
[课堂笔记]　______________________________

答案： B［由函数$f(x)$对任意的$x\in\mathbf{R}$，均有$f(x + 2)=f(2 - x)$，可得函数$f(x)$的图象关于直线$x = 2$对称，又$f(x)$在$[2,+\infty)$上单调递减，所以$f(x)$在$(-\infty,2)$上单调递增，因为$f(-1)=0$，所以$f(5)=f(-1)=0$，则不等式$f(x - 1)\geqslant0$，即$-1\leqslant x - 1\leqslant5$，解得$0\leqslant x\leqslant6$，所以不等式$f(x - 1)\geqslant0$的解集为$[0,6]$. 故选B.］

6.(2024·江苏泰州摸底)设定义在R上的函数f(x)满足：当x$_1$＜x$_2$时，总有2$^{x_1}$f(x$_2$)＜2$^{x_2}$f(x$_1$)，且f(1)=2，则不等式f(x)＞2$^{x}$的解集为 (　　　)
A. (-∞,1)
B. (1,+∞)
C. (-1,1)
D. (-∞,1)∪(1,+∞)

答案： A［由$2^{x_{1}}f(x_{2})＜2^{x_{2}}f(x_{1})$，得$\frac{f(x_{2})}{2^{x_{2}}}＜\frac{f(x_{1})}{2^{x_{1}}}$，令$g(x)=\frac{f(x)}{2^{x}}$，可知当$x_{1}＜x_{2}$时，$g(x_{2})＜g(x_{1})$，所以$g(x)$在定义域$\mathbf{R}$上单调递减，又$f(x)＞2^{x}\Rightarrow\frac{f(x)}{2^{x}}＞1=\frac{f(1)}{2^{1}}$，即$g(x)＞g(1)$，所以由单调性解得$x＜1$. 故选A.］

例5 (2023·江苏镇江期中)若函数f(x)=$\begin{cases}-x^{2}+ax,x＜1 \\ (6 - a)x - a,x\geq1\end{cases}$满足对任意实数x$_1$≠x$_2$，都有$\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}$＞0成立，则实数a的取值范围是 (　　　)
A. (-∞,2]
B. (1,2)
C. [2,6)
D. [2,$\frac{7}{3}$]
[课堂笔记]
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答案： D［根据题意知$f(x)$是$\mathbf{R}$上的增函数，
则$\begin{cases}-\frac{a}{2\times(-1)}\geqslant1,\\6 - a＞0,\\-1^{2}+a\leqslant6 - a - a,\end{cases}$解得$2\leqslant a\leqslant\frac{7}{3}$. 故选D.］

7.若函数f(x)=-x$^{2}$+4ax在[1,3]上不单调，则实数a的取值范围是________。

答案： 答案$(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$
解析 因为函数$f(x)$在$[1,3]$上不单调，所以$1＜2a＜3$，得$\frac{1}{2}＜a＜\frac{3}{2}$.

8.设函数f(x)=$\begin{cases}-x^{2}+4x,x\leq4 \\ \log_{2}x,x＞4\end{cases}$。 若函数f(x)在区间(a,a + 1)上单调递增，则实数a的取值范围是________。

答案：
答案$(-\infty,1]\cup[4,+\infty)$
解析 函数$f(x)$的图象如图所示，由图象可知，若$f(x)$在$(a,a + 1)$上单调递增，则$a\geqslant4$或$a + 1\leqslant2$，即$a\leqslant1$或$a\geqslant4$.

例6 (1)当-3≤x≤-1时，函数y=$\frac{5x - 1}{4x + 2}$的最小值为 (　　　)
A. $\frac{6}{5}$
B. $\frac{8}{5}$
C. 2
D. 3

答案： B［由$y=\frac{5x - 1}{4x + 2}$，可得$y=\frac{5}{4}-\frac{7}{4(2x + 1)}$，因为$-3\leqslant x\leqslant-1$，所以$\frac{7}{20}\leqslant-\frac{7}{4(2x + 1)}\leqslant\frac{7}{4}$，即$\frac{8}{5}\leqslant y\leqslant3$. 所以所求函数的最小值为$\frac{8}{5}$. 故选B.］

(2)函数f(x)=x+$\sqrt{3 - 2x}$的值域是 (　　　)
A. [0,+∞)
B. [1,+∞)
C. (-∞,2]
D. (-∞,1]

答案： C［令$\sqrt{3 - 2x}=t\geqslant0$，则$x=\frac{3 - t^{2}}{2}$，原函数即为$g(t)=-\frac{1}{2}t^{2}+t+\frac{3}{2}(t\geqslant0)$，可知$g(t)_{\max}=g(1)=-\frac{1}{2}\times1^{2}+1+\frac{3}{2}=2$，所以函数$f(x)$的值域为$(-\infty,2]$. 故选C.］

(3)已知函数f(x)=$\begin{cases}e^{x - 1},x\leq1 \\ \frac{1}{x}-x + 1,x＞1\end{cases}$， 则f(x)的最大值为________。
[课堂笔记]　______________________________

答案： 答案 1
解析 当$x\in(-\infty,1]$时，$f(x)=e^{x - 1}$单调递增，$f(x)\leqslant f(1)=e^{1 - 1}=1$；当$x\in(1,+\infty)$时，$f(x)=\frac{1}{x}-x + 1$单调递减，$f(x)＜\frac{1}{1}-1 + 1 = 1$. 所以$f(x)$的最大值为1.