《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

例5　　一束光线，从点A(-2,2)出发，经x轴反射到圆C:(x - 3)² + (y - 3)² = 1上的最短路径的长度是（ ）
A.5$\sqrt{2}$ - 1　　　　　
　B.5$\sqrt{2}$ + 1
C.3$\sqrt{2}$ + 1　　　　　
　D.3$\sqrt{2}$ - 1

答案：
A [如图，依题意知，圆 $C$ 的圆心 $C(3,3)$，半径 $r = 1$，点 $A(-2,2)$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $A'(-2,-2)$，连接 $A'C$ 交 $x$ 轴于点 $O$，交圆 $C$ 于点 $B$，圆外一点与圆上的点的距离的最小值是圆外这点到圆心的距离减去圆的半径，于是得点 $A'$ 与圆 $C$ 上的点的距离的最小值为 $\vert A'B\vert=\vert A'C\vert-r=\sqrt{(-2 - 3)^{2}+(-2 - 3)^{2}}-1=5\sqrt{2}-1$。在 $x$ 轴上任取点 $P$，连接 $AP$，$A'P$，$PC$，$PC$ 交圆 $C$ 于点 $B'$，而 $\vert AO\vert=\vert A'O\vert$，$\vert AP\vert=\vert A'P\vert$，$\vert AO\vert+\vert OB\vert=\vert A'O\vert+\vert OB\vert=\vert A'B\vert=\vert A'C\vert-r\leq\vert A'P\vert+\vert PC\vert-r=\vert AP\vert+\vert PB'\vert$，当且仅当点 $P$ 与点 $O$ 重合时取“$=$”，所以最短路径的长度是 $5\sqrt{2}-1$。故选 A。]

8.(2024·浙江金华模拟)已知圆C:x² + (y - 2)² = 1上一动点A和定点B(6,2)，点P为x轴上一动点，则|PA| + |PB|的最小值为________.

答案：
答案 $2\sqrt{13}-1$
解析 根据题意画出圆 $C:x^{2}+(y - 2)^{2}=1$，以及点 $B(6,2)$ 的图象如图，作 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点 $B'$，连接 $B'C$，则当 $A$，$P$ 分别是 $B'C$ 与圆和 $x$ 轴的交点时，$\vert PA\vert+\vert PB\vert$ 最小，最小值 $\vert AB'\vert$ 为点 $C(0,2)$ 到点 $B'(6,-2)$ 的距离减去圆的半径，即 $\vert AB'\vert=\sqrt{(6 - 0)^{2}+(-2 - 2)^{2}}-1=2\sqrt{13}-1$。

必备知识——强基础
知识梳理
1. 直线与圆的位置关系
设圆$C:(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，直线$l:Ax + By + C = 0$，圆心$C(a,b)$到直线$l$的距离为$d$，
由$\begin{cases}(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \\ Ax + By + C = 0\end{cases}$消去$y$(或$x$)，得到关于$x$(或$y$)的一元二次方程，其判别式为$\Delta$.

答案： 01＜
@@02=
@@03＞
@@04＞
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@@06＜