《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

(7)直线3x - 2y = 0关于点($\frac{1}{3}$,0)对称的直线方程为（ ）
A.2x - 3y = 0
B.3x - 2y - 2 = 0
C.x - y = 0
D.2x - 3y - 2 = 0

答案： B [设所求直线上任一点为(x，y)，则其关于点($\frac{1}{3}$，0)对称的点为($\frac{2}{3}$ - x，-y)，因为点($\frac{2}{3}$ - x，-y)在直线3x - 2y = 0上，所以3($\frac{2}{3}$ - x) - 2(-y) = 0，化简得3x - 2y - 2 = 0，所以所求直线方程为3x - 2y - 2 = 0.故选B.]

(8)(2024·河北张家口质检)光线从点A(-3,5)射到x轴上,经反射后经过点B(2,10),则光线从A到B经过的路程为（ ）
A.5$\sqrt{2}$
B.2$\sqrt{5}$
C.5$\sqrt{10}$
D.10$\sqrt{5}$

答案： C [点A(-3，5)关于x轴的对称点为C(-3，-5)，则光线从A到B经过的路程为CB的长度，即|CB| = $\sqrt{(-3 - 2)² + (-5 - 10)²}=5\sqrt{10}$.故选C.]

例6　　(2024·河北张家口阶段考试)点P(2,0)关于直线l:x - y + 3 = 0的对称点Q的坐标为（ ）
A.(-3,5)
B.(-1,-4)
C.(4,1)
D.(2,3)

答案： A [设点P(2，0)关于直线l：x - y + 3 = 0的对称点Q的坐标为(a，b)，则$\begin{cases}\frac{b - 0}{a - 2}×1 = -1\\\frac{a + 2}{2}-\frac{b}{2}+3 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -3\\b = 5\end{cases}$，所以点Q的坐标为(-3，5).故选A.]

(9)(2023·广东深圳模拟)已知点A(a + 2,b + 2)和B(b - a,-b)关于直线4x + 3y = 11对称,则a,b的值为（ ）
A.a = -1,b = 2
B.a = 4,b = -2
C.a = 2,b = 4
D.a = 4,b = 2

答案： D [点A，B关于直线4x + 3y = 11对称，则kAB = $\frac{3}{4}$，即$\frac{b + 2 - (-b)}{a + 2 - (b - a)}=\frac{3}{4}$ ①，且AB的中点($\frac{b + 2}{2}$，1)在已知直线上，代入得2(b + 2) + 3 = 11 ②，联立①②组成方程组，解得$\begin{cases}a = 4\\b = 2\end{cases}$.故选D.]

例7　　(2024·河南南阳模拟)直线x - 2y - 1 = 0关于直线y - x = 0对称的直线方程是（ ）
A.2x - y + 1 = 0
B.2x + y - 1 = 0
C.2x + y + 1 = 0
D.x + 2y + 1 = 0

答案： A [在直线x - 2y - 1 = 0上任取一点P(a，b)，设点P关于直线y - x = 0的对称点为Q(x，y)，则$\begin{cases}\frac{y - b}{x - a}=-1\\\frac{y + b}{2}=\frac{x + a}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = y\\b = x\end{cases}$，即P(y，x)，因为点P(y，x)在直线x - 2y - 1 = 0上，所以y - 2x - 1 = 0，即2x - y + 1 = 0，所以所求直线方程是2x - y + 1 = 0.故选A.]

(10)已知直线l1:x - y + 3 = 0与直线l:x - y - 1 = 0,若直线l1关于直线l的对称直线为l2,则直线l2的方程为________.

答案： 答案 x - y - 5 = 0
解析 解法一：由题意，知l1 // l2，设直线l2：x - y + m = 0(m ≠ 3，m ≠ -1)，在直线l1上取点M(0，3)，设点M关于直线l的对称点为M'(a，b)，则$\begin{cases}\frac{b - 3}{a}×1 = -1\\\frac{a + 0}{2}-\frac{b + 3}{2}-1 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 4\\b = -1\end{cases}$，即M'(4，-1)，将M'(4，-1)代入l2的方程，得4 + 1 + m = 0，解得m = -5.所以直线l2的方程为x - y - 5 = 0.
解法二：易知l1 // l，所以l2 // l，设直线l2：x - y + m = 0(m ≠ 3，m ≠ -1).因为直线l1，l2关于直线l对称，所以l1与l，l2与l间的距离相等.由两平行直线间的距离公式得$\frac{|3 - (-1)|}{\sqrt{2}}=\frac{|m - (-1)|}{\sqrt{2}}$，解得m = -5或m = 3(舍去).所以直线l2的方程为x - y - 5 = 0.