《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

（3）（人教A必修第二册8.3.2练习T1改编）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）
A. 2$\pi$ B. 3$\pi$ C. 4$\pi$ D. 5$\pi$

答案：
(3)C [设圆锥的母线长为$l$，则$l\cdot\frac{2\pi}{3}=2\pi$，解得$l = 3$，则该圆锥的表面积为$\pi\times1\times3+\pi\times1^{2}=4\pi$. 故选 C.]

（4）（2023·江苏常州一模）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，侧面积为3$\sqrt{5}\pi$，则该圆台的体积为（ ）
A. $\frac{8\pi}{3}$ B. $\frac{14\pi}{3}$ C. 5$\pi$ D. $\frac{16\pi}{3}$

答案：

(4)B [如图，设圆台的母线长为$l$，则$S_{圆台侧}=\pi(r_{1}+r_{2})l=\pi(1 + 2)l = 3\sqrt{5}\pi$，解得$l=\sqrt{5}$，所以圆台的高$h=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-(2 - 1)^{2}} = 2$，则$V_{圆台}=\frac{1}{3}(S_{上}+S_{下}+\sqrt{S_{上}S_{下}})h=\frac{1}{3}(\pi+4\pi+\sqrt{\pi\times4\pi})\times2=\frac{14\pi}{3}$. 故选 B.]

例1　　(2024·河北唐山阶段考试)下列说法错误的是　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. 球体是旋转体
B. 圆柱的母线平行于轴
C. 斜棱柱的侧面中没有矩形
D. 用平行于正棱锥底面的平面截正棱锥所得的棱台叫做正棱台
[课堂笔记]　　____________________________
[通性通法]
空间几何体结构特征的判断技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.
(2)说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.

答案：
C　[球体是半圆面绕其直径所在的直线旋转一周所得的几何体，即球体是旋转体，A正确；由圆柱的结构特征知，圆柱的母线平行于轴，B正确；如图，斜平行六面体ABCD−A₁B₁C₁D₁中，若AD⊥平面ABB₁A₁，AA₁⊂平面ABB₁A₁，则AD⊥AA₁，侧面四边形ADD₁A₁是矩形，C错误；由正棱台的定义知，D正确．故选C.]

1.(2024·湖北襄阳五中月考)下列说法正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B. 球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C. 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台

答案： B　[对于A，虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误；对于B，球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确；对于C，以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C错误；对于D，用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台，故D错误．故选B.]

例2　　已知△ABC是边长为a的正三角形，那么水平放置的△ABC的直观图△A'B'C'的面积为　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$\frac{\sqrt{6}}{16}a^{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{32}a^{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{16}a^{2}$
D.$\frac{\sqrt{6}}{8}a^{2}$
[课堂笔记]　______________________________

答案：
A　[解法一：根据题意，建立如图1所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出△ABC的直观图，如图2所示
　　　 　　　
由斜二测画法可知，A'B' = AB = a，O'C' = $\frac{1}{2}$OC = $\frac{\sqrt{3}}{4}$a. 作C'D'⊥A'B'于D'，则C'D' = $\frac{\sqrt{2}}{2}$O'C' = $\frac{\sqrt{6}}{8}$a，S△A'B'C' = $\frac{1}{2}$A'B'·C'D' = $\frac{1}{2}$a·$\frac{\sqrt{6}}{8}$a = $\frac{\sqrt{6}}{16}$a². 故选A.
解法二：根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在x轴上(或与x轴平行)的线段，其长度保持不变；在y轴上(或与y轴平行)的线段，其长度变为原来的一半，且∠x'O'y' = 45°(或135°)，所以若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积为S' = $\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×S = $\frac{\sqrt{2}}{4}$S. 本题中易得S△ABC = $\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，则S△A'B'C' = $\frac{\sqrt{2}}{4}$S△ABC = $\frac{\sqrt{2}}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$a² = $\frac{\sqrt{6}}{16}$a². 故选A.]

2.(2023·益阳调研)如图,一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图O'A'B'C'的面积为4，则该平面图形的面积为　　(　　　)

A.$\sqrt{2}$　　
　B.4$\sqrt{2}$　
　C.8$\sqrt{2}$　
　D.2$\sqrt{2}$

答案： C　[由S原图形 = 2$\sqrt{2}$S直观图，得S原图形 = 2$\sqrt{2}$×4 = 8$\sqrt{2}$.]