《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

(4)(2024·山西吕梁模拟)过直线x + y + 1 = 0和x - 2y + 4 = 0的交点,且与直线x + 2y - 3 = 0垂直的直线方程是________.

答案： 答案 2x - y + 5 = 0
解析 解法一：联立方程$\begin{cases}x + y + 1 = 0\\x - 2y + 4 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = -2\\y = 1\end{cases}$，所以交点坐标为(-2，1).直线x + 2y - 3 = 0的斜率为- $\frac{1}{2}$，所以所求直线方程的斜率为- $\frac{1}{-\frac{1}{2}}$ = 2，由点斜式方程得，所求直线方程为y - 1 = 2(x + 2)，即2x - y + 5 = 0.
解法二：设所求直线方程为x + y + 1 + λ(x - 2y + 4) = 0，即(1 + λ)x + (1 - 2λ)y + 1 + 4λ = 0.因为所求直线与直线x + 2y - 3 = 0垂直，所以所求直线方程的斜率为2，易知λ ≠ $\frac{1}{2}$，则$\frac{1 + λ}{2λ - 1}=2$，得λ = 1，则所求直线方程为2x - y + 5 = 0.

例4　　(1)(2023·陕西咸阳模拟)已知直线l1:2x - y + 1 = 0,l2:x + ay - 1 = 0,且l1⊥l2,则点P(1,2)到直线l2的距离d = （ ）
A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{4\sqrt{5}}{5}$

答案： D [由l1 ⊥ l2，可得2×1 - 1×a = 0，解得a = 2，故d = $\frac{|1 + 2×2 - 1|}{\sqrt{1² + 2²}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$.故选D.]

(2)(2024·福建厦门阶段考试)若平面内两条平行线l1:x + (a - 1)y + 2 = 0,l2:ax + 2y + 1 = 0间的距离为$\frac{3\sqrt{5}}{5}$,则实数a = ________.

答案： 答案 -1
解析
∵l1 // l2，
∴a(a - 1) = 2，解得a = 2或a = -1.当a = 2时，d = $\frac{|2-\frac{1}{2}|}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$，不满足题意；当a = -1时，d = $\frac{|2 + 1|}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$，满足题意.故a = -1.

(5)已知直线l过点P(-1,2),且点A(2,3),B(-4,5)到直线l的距离相等,则直线l的方程为（ ）
A.3x + y + 5 = 0
B.x + 3y - 5 = 0
C.x = -1
D.y = 2

答案： BC [解法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y - 2 = k(x + 1)，即kx - y + k + 2 = 0.由题意，知$\frac{|2k - 3 + k + 2|}{\sqrt{k² + 1}}=\frac{|-4k - 5 + k + 2|}{\sqrt{k² + 1}}$，即|3k - 1| = |-3k - 3|，解得k = - $\frac{1}{3}$，所以直线l的方程为y - 2 = - $\frac{1}{3}$(x + 1)，即x + 3y - 5 = 0；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x = -1，符合题意.故所求直线l的方程为x + 3y - 5 = 0或x = -1.]
解法二：当AB // l时，直线l的斜率k = kAB = - $\frac{1}{3}$，则直线l的方程为y - 2 = - $\frac{1}{3}$(x + 1)，即x + 3y - 5 = 0；当直线l过AB的中点(-1，4)时，直线l的方程为x = -1.故所求直线l的方程为x + 3y - 5 = 0或x = -1.]

(6)(2023·山东济南调研)已知直线l1:2x + 3y - 1 = 0和直线l2:4x + 6y - 9 = 0,若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2,则直线l的方程为（ ）
A.2x + 3y - 8 = 0
B.4x + 6y + 5 = 0
C.6x + 9y - 10 = 0
D.12x + 18y - 13 = 0

答案： BD [设直线l的方程为4x + 6y + m = 0，m ≠ -2且m ≠ -9，直线l到直线l1和l2的距离分别为d1，d2，由题意，知d1 = $\frac{|m + 2|}{\sqrt{16 + 36}}$，d2 = $\frac{|m + 9|}{\sqrt{16 + 36}}$.因为$\frac{d1}{d2}=\frac{1}{2}$，所以$\frac{2|m + 2|}{\sqrt{16 + 36}}=\frac{|m + 9|}{\sqrt{16 + 36}}$，即2|m + 2| = |m + 9|，解得m = 5或m = - $\frac{13}{3}$，即直线l的方程为4x + 6y + 5 = 0或12x + 18y - 13 = 0.]

例5　　(1)过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x + y - 8 = 0和l2:x - 3y + 10 = 0截得的线段恰好被点P平分,则直线l的方程为（ ）
A.x - 4y + 4 = 0
B.4x - y - 4 = 0
C.4x + y + 4 = 0
D.x + 4y - 4 = 0

答案： D [设l1与l的交点为A(a，8 - 2a).由题意知，点A关于点P的对称点B(-a，2a - 6)在l2上，把点B的坐标代入l2的方程得 - a - 3(2a - 6) + 10 = 0，解得a = 4.因为点A(4，0)，P(0，1)在直线l上，所以直线l的方程为x + 4y - 4 = 0.故选D.]

(2)(2023·江苏镇江期中)直线l:y = 2x + 3关于点P(2,3)对称的直线l'的方程是（ ）
A.2x - y - 5 = 0
B.2x + y - 5 = 0
C.2x - y + 5 = 0
D.2x + y + 5 = 0

答案： A [因为l和l'关于点P对称，则两直线平行，可设l'的方程为2x - y + b = 0(b ≠ 3)，点P到两直线的距离相等，则$\frac{|2×2 - 3 + 3|}{\sqrt{2² + (-1)²}}=\frac{|2×2 - 3 + b|}{\sqrt{2² + (-1)²}}$，解得b = -5或b = 3(舍去)，所以直线l'的方程是2x - y - 5 = 0.故选A.]