《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

例1　　(1)已知{aₙ}为等差数列，其前n项和为Sₙ，若a₁ = 1，a₃ = 5，Sₙ = 64，则n = （ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9

答案： C　[公差$d=\frac{a_{3}-a_{1}}{2}=\frac{5 - 1}{2}=2$，又$S_{n}=64$，所以$S_{n}=na_{1}+\frac{n(n - 1)}{2}d=n + n(n - 1)=n^{2}=64$，解得$n = 8$（负值舍去）. 故选C.]

(2)(2024·皖南八校开学考试)已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且a₃ + a₅ = -10，S₆ = -42，则S₁₀ = （ ）
A. 6
B. 10
C. 12
D. 20

答案： B[设等差数列$\{a_{n}\}$的公差为$d$，因为$a_{3}+a_{5}=2a_{1}+6d=-10$，$S_{6}=6a_{1}+15d=-42$，解得$a_{1}=-17$，$d = 4$，所以$S_{10}=10a_{1}+45d=-170 + 45\times4 = 10$. 故选B.]

(3)已知等差数列{aₙ}中，Sₙ为其前n项和，S₄ = 24，S₉ = 99，则a₇ = （ ）
A. 13
B. 14
C. 15
D. 16

答案： C　[设等差数列$\{a_{n}\}$的公差为$d$，因为$S_{4}=24$，$S_{9}=99$，所以$\begin{cases}4a_{1}+\frac{4\times3}{2}d=24\\9a_{1}+\frac{9\times8}{2}d=99\end{cases}$，即$\begin{cases}2a_{1}+3d=12\\a_{1}+4d=11\end{cases}$，解得$\begin{cases}a_{1}=3\\d=2\end{cases}$，所以$a_{7}=a_{1}+6d=3 + 12 = 15$. 故选C.]

[巩固迁移]
1.(2023·陕西部分名校高三下仿真模拟)在等差数列{aₙ}中，a₃ + a₇ = a₈ = 16，则{aₙ}的公差d = （ ）
A. $\frac{8}{3}$
B. 3
C. $\frac{10}{3}$
D. 4

答案： A　[因为$a_{3}+a_{7}=a_{8}=2a_{5}=16$，所以$a_{8}-a_{5}=3d=8$，则$d=\frac{8}{3}$. 故选A.]

2.(2023·湖南名校联考)设等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且2a₇ - a₁₁ = 4，则S₅ = （ ）
A. 15
B. 20
C. 25
D. 30

答案： B　[设等差数列$\{a_{n}\}$的公差为$d$，则$2(a_{1}+6d)-(a_{1}+10d)=a_{1}+2d=4$，所以$S_{5}=5a_{1}+\frac{5\times4}{2}d=5(a_{1}+2d)=5\times4 = 20$. 故选B.]

例2　　(1)(2024·九省联考)记等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，a₃ + a₇ = 6，a₁₂ = 17，则S₁₆ = （ ）
A. 120
B. 140
C. 160
D. 180

答案： C　[因为$a_{3}+a_{7}=2a_{5}=6$，所以$a_{5}=3$，所以$a_{5}+a_{12}=3 + 17 = 20$，所以$S_{16}=\frac{(a_{1}+a_{16})\times16}{2}=8(a_{5}+a_{12})=160$. 故选C.]

(2)设公差不为0的等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，已知S₉ = 3(a₃ + a₅ + aₘ)，则m = （ ）
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6

答案： C　[因为$S_{9}=9a_{5}$，所以$9a_{5}=3(a_{3}+a_{5}+a_{m})$，所以$a_{3}+a_{5}+a_{m}=3a_{5}$，即$a_{3}+a_{m}=2a_{5}$，所以$m = 7$. 故选C.]

[巩固迁移]
3.(2024·河南杞县模拟)已知项数为n的等差数列{aₙ}的前6项和为10，最后6项和为110，所有项和为360，则n = （ ）
A. 48
B. 36
C. 30
D. 26

答案： B　[由题意知$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{5}=10$，$a_{n}+a_{n - 1}+\cdots+a_{n - 5}=110$，两式相加得$6(a_{1}+a_{n})=120$，所以$a_{1}+a_{n}=20$，又$\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}=360$，所以$n = 36$. 故选B.]