《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

诊断自测
1. 概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）两个向量的夹角的范围是$[0,\frac{\pi}{2}]$. （ ）
（2）若$a\cdot b＞0$，则a与b的夹角为锐角. （ ）
（3）两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量. （ ）

答案：
(1)×
(2)×
(3)√

（1）已知$a=(3,4)$，$b=(5,12)$，则a与b夹角的余弦值为（ ）
A. $\frac{63}{65}$ B. $\sqrt{65}$ C. $\frac{\sqrt{13}}{5}$ D. $\sqrt{13}$

答案： A [|a| = √(3² + 4²) = 5，|b| = √(5² + 12²) = 13. a·b = 3×5 + 4×12 = 63. 设 a 与 b 的夹角为θ，则 cosθ = 63 / (5×13) = 63 / 65. 故选 A.]

（2）（人教A必修第二册6.2练习T3改编）若$a\cdot b=-6$，$|a| = 8$，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为______.

答案： 答案 -3 / 4 e
解析 向量 b 在向量 a 上的投影向量为 a·b / |a| e = -3 / 4 e.

（3）（人教B必修第三册8.1.2例2改编）已知$|a| = 2$，$|b| = 1$，且$|a - 2b| = 2$，则$\langle a,b\rangle=$______.

答案： 答案 60°
解析 由|a - 2b|² = (a - 2b)² = a² + 4b² - 4a·b = 4，得 a·b = 1，即|a||b|cos〈a，b〉 = 1，则 cos〈a，b〉 = 1 / 2，故〈a，b〉 = 60°.

（4）（人教A必修第二册习题6.2 T24改编）在$\odot C$中，弦AB的长度为4，则$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=$______.

答案：
答案 8
解析 取 AB 的中点 M，连接 CM，则 CM⊥AB，
AM = 1 / 2 AB，所以 AB·AC = |AB||AC|·
cos∠BAC = |AB||AM| = 1 / 2 |AB|² = 8.

例1　　(1)(2024·江苏淮安模拟)已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则(a + b)·c = ____ ，a·b = ________.
　　　　　　　
(2)在平面四边形ABCD中,已知$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，P为CD上一点，$\overrightarrow{CP}=3\overrightarrow{PD}$，$|\overrightarrow{AB}| = 4$，$|\overrightarrow{AD}| = 3$，$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AD}$的夹角为θ，且$\cos\theta=\frac{2}{3}$，则$\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{PB}=$ ________.
[课堂笔记]
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答案：

(1)答案 0 3
解析　如图，以O为坐标原点，建立平面直角坐标系,则$\boldsymbol{a}=(2,1)$，$\boldsymbol{b}=(2, - 1)$，
　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\boldsymbol{c}=(0,1)$，$\therefore\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(4,0)$，$\therefore(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=4\times0 + 0\times1 = 0$，$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=2\times2 + 1\times(-1)=3$.
(2)答案 -2
解析　如图所示，$\because\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，$\therefore$四边形ABCD为平行四边形，$\because\overrightarrow{CP}=3\overrightarrow{PD}$，$\therefore\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，
　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$，又$|\overrightarrow{AB}| = 4$，$|\overrightarrow{AD}| = 3$，$\cos\theta=\frac{2}{3}$，则$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=4\times3\times\frac{2}{3}=8$，$\therefore\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{PB}=(\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot(\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})=\frac{3}{16}\overrightarrow{AB}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AD}^{2}=\frac{3}{16}\times4^{2}+\frac{1}{2}\times8 - 9=-2$.

【巩固迁移】
1. 设向量$e_1=(1,0)$，$e_2=(0,1)$.若$a = - 2e_1 + 7e_2$，$b = 4e_1 + 3e_2$，则$a\cdot b=$ ________，向量a在向量b上的投影向量为________.

答案： 答案 13 $(\frac{52}{25},\frac{39}{25})$
解析　因为向量$\boldsymbol{e}_{1}=(1,0)$，$\boldsymbol{e}_{2}=(0,1)$，所以$\boldsymbol{a}=-2\boldsymbol{e}_{1}+7\boldsymbol{e}_{2}=-2(1,0)+7(0,1)=(-2,7)$，$\boldsymbol{b}=4\boldsymbol{e}_{1}+3\boldsymbol{e}_{2}=4(1,0)+3(0,1)=(4,3)$，所以$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-2\times4 + 7\times3 = 13$. 由$\boldsymbol{a}=(-2,7)$，$\boldsymbol{b}=(4,3)$可得，$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{4 + 49}=\sqrt{53}$，$|\boldsymbol{b}|=\sqrt{16 + 9}=5$，所以$\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\frac{13}{\sqrt{53}\times5}$，向量$\boldsymbol{a}$在向量$\boldsymbol{b}$上的投影向量为$|\boldsymbol{a}|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}=\sqrt{53}\times\frac{13}{\sqrt{53}\times5}\times\frac{\boldsymbol{b}}{5}=\frac{13}{25}\boldsymbol{b}=(\frac{52}{25},\frac{39}{25})$.

2. 在边长为2的正三角形ABC中，M是BC的中点，D是线段AM的中点.若$\overrightarrow{BD}=x\overrightarrow{BA}+y\overrightarrow{BC}$，则$x + y=$ ________；$\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BM}=$ ________.

答案： 答案 $\frac{3}{4}$ 1
解析　$\because M$是$BC$的中点，$\therefore\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，$\because D$是$AM$的中点，$\therefore\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$，$\therefore x=\frac{1}{2}$，$y=\frac{1}{4}$，$\therefore x + y=\frac{3}{4}$. $\because\triangle ABC$是边长为2的正三角形，$M$是$BC$的中点，$\therefore AM\perp BC$，且$BM = 1$，$\therefore\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BM}=|\overrightarrow{BD}||\overrightarrow{BM}|\cos\angle DBM=|\overrightarrow{BM}|^{2}=1$.