《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

例1　　(1)(2024·湖南长沙长郡中学高三月考)函数$f(x)=5 - 2x - \lg(2x + 1)$的零点所在的区间是（ ）
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (3,4)

答案： C [因为函数$f(x)=5 - 2x-\lg(2x + 1)$在$\left(-\dfrac{1}{2},+\infty\right)$上单调递减，所以函数$f(x)$最多只有一个零点，因为$f(0)f(1)=5(3 - \lg3)＞0$，$f(1)f(2)=(3 - \lg3)(1 - \lg5)＞0$，$f(2)f(3)=(1 - \lg5)(-1 - \lg7)＜0$，$f(3)f(4)=(-1 - \lg7)\times(-3 - \lg9)＞0$，所以函数$f(x)=5 - 2x-\lg(2x + 1)$的零点所在的区间是$(2,3)$. 故选C.]

(2)用二分法求函数$f(x)=3^{x}-x - 4$的一个零点，其参考数据如下:

据此数据,可得方程$3^{x}-x - 4 = 0$的一个近似解为_______(精确度为0.01).

答案： 答案 1.56(答案不唯一，在$[1.5562,1.5625]$上即可)
解析 注意到$f(1.5562)\approx - 0.029$和$f(1.5625)\approx0.003$，显然$f(1.5562)f(1.5625)＜0$，又$|1.5562 - 1.5625| = 0.0063＜0.01$，所以近似解可取1.56.

1.(2023·广东梅州高三二模)用二分法求方程$\log_{4}x-\frac{1}{2x}=0$的近似解时，所取的第一个区间可以是（ ）
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (3,4)

答案： B [令$f(x)=\log_{4}x-\dfrac{1}{2x}$，因为函数$y = \log_{4}x$，$y=-\dfrac{1}{2x}$在$(0,+\infty)$上都是增函数，所以函数$f(x)=\log_{4}x-\dfrac{1}{2x}$在$(0,+\infty)$上是增函数，$f(1)=-\dfrac{1}{2}＜0$，$f(2)=\log_{4}2-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}＞0$，所以函数$f(x)=\log_{4}x-\dfrac{1}{2x}$在区间$(1,2)$上有唯一零点，所以用二分法求方程$\log_{4}x-\dfrac{1}{2x}=0$的近似解时，所取的第一个区间可以是$(1,2)$. 故选B.]

2. 已知$2 ＜ a ＜ 3 ＜ b ＜ 4$，函数$y = \log_{a}x$与$y = -x + b$的交点为$(x_{0},y_{0})$，且$x_{0}\in(n,n + 1)$，$n\in\mathbf{N}$，则$n =$_______.

答案： 答案 2
解析 依题意，$x_{0}$为方程$\log_{a}x=-x + b$的解，即为函数$f(x)=\log_{a}x+x - b$的零点，$\because2 ＜ a ＜ 3 ＜ b ＜ 4$，$\therefore f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，又$f(2)=\log_{a}2+2 - b＜0$，$f(3)=\log_{a}3+3 - b＞0$，$\therefore x_{0}\in(2,3)$，即$n = 2$.

例2　　(1)已知函数$f(x)=\begin{cases}x^{2}-4,x\leqslant1\\\log_{2}(x - 1),x＞1\end{cases}$，则函数$y = f(x)$零点的个数为_______.

答案： 答案 2
解析 当$x\leqslant1$时，由$f(x)=x^{2}-4 = 0$，可得$x = 2$(舍去)或$x=-2$；当$x＞1$时，由$f(x)=\log_{2}(x - 1)=0$，可得$x = 2$. 综上所述，函数$y = f(x)$零点的个数为2.

(2)方程$\ln x+\cos x=\frac{1}{3}$在$(0,1)$上的实数根的个数为_______.

答案：
答案 1
解析 解法一：$\ln x+\cos x=\dfrac{1}{3}$，即$\cos x-\dfrac{1}{3}=-\ln x$，在同一平面直角坐标系中，分别作出函数$y=\cos x-\dfrac{1}{3}$和$y = -\ln x$的大致图象，如图所示，在$(0,1)$上两函数的图象只有一个交点，即方程$\ln x+\cos x=\dfrac{1}{3}$在$(0,1)$上的实数根的个数为1.
解法二：令$f(x)=\ln x+\cos x-\dfrac{1}{3}$，则$f'(x)=\dfrac{1}{x}-\sin x$，显然在$(0,1)$上$f'(x)＞0$，所以函数$f(x)$在$(0,1)$上单调递增，又$f\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)=\ln\dfrac{1}{\text{e}}+\cos\dfrac{1}{\text{e}}-\dfrac{1}{3}=-1-\dfrac{1}{3}+\cos\dfrac{1}{\text{e}}＜0$，$f(1)=\ln1+\cos1-\dfrac{1}{3}=0+\cos1-\dfrac{1}{3}＞\cos\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}＞0$，所以在$(0,1)$上函数$f(x)$的图象和$x$轴有且只有一个交点，即方程$\ln x+\cos x=\dfrac{1}{3}$在$(0,1)$上的实数根的个数为1.

4. 函数$f(x)=(\frac{1}{2})^{|x|}-|\log_{2}x|$的零点有_______个.

答案：
答案 2
解析 $f(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{|x|}-|\log_{2}x|$的零点的个数即$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{|x|}=|\log_{2}x|$的根的个数，即为$y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{|x|}$与$y = |\log_{2}x|$图象交点的个数，画出大致图象如图所示，则由图象可知交点有2个，即函数$f(x)$的零点有2个.