《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

1. 概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若函数$f(x)$在$[1,+\infty)$上单调递增，则函数$f(x)$的单调递增区间是$[1,+\infty)$. （ ）
（2）因为$y = x$与$y = e^{x}$都是增函数，所以$y = xe^{x}$在定义域内为增函数. （ ）
（3）若函数$f(x)$在区间$(1,2]$和$(2,3)$上均为增函数，则函数$f(x)$在区间$(1,3)$上为增函数. （ ）

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)×

2. 小题热身
（1）（多选）（人教 A 必修第一册习题 3.2 T3 改编）下列函数中，在区间$(0,+\infty)$上单调递减的是（ ）
A. $y=\frac{1}{x}-x$
B. $y = x^{2}-x$
C. $y=-x^{2}-2x$
D. $y = e^{x}$

答案：
(1)AC

（2）（人教 A 必修第一册 3.2.1 P81 练习 T2 改编）已知函数$f(x)$为定义在区间$[-1,1]$上的增函数，则满足$f(x)＜f(\frac{1}{2})$的实数$x$的取值范围为（ ）
A. $(-\infty,\frac{1}{2})$
B. $[-1,\frac{1}{2})$
C. $(-1,\frac{1}{2})$
D. $(-1,1]$

答案：
(2)B [由题意，得$\begin{cases}-1\leq x\leq1,\\x＜\frac{1}{2},\end{cases}$解得$-1\leq x＜\frac{1}{2}$. 故选 B.]

（3）（人教 A 必修第一册 3.2.1 例 5 改编）已知函数$f(x)=\frac{2}{x - 1}(x\in[2,6])$，则函数$f(x)$的最大值为____，最小值为____.

答案：
(3)2 $\frac{2}{5}$

（4）函数$f(x)=\lg(9 - x^{2})$的定义域为____，其单调递增区间为____.

答案：
(4)答案 (-3,3) (-3,0]
解析 对于函数$f(x)=\lg(9 - x^{2})$，令$t = 9 - x^{2}＞0$，解得$-3＜x＜3$，故函数$f(x)$的定义域为(-3,3). 令$g(x)=9 - x^{2}$，则函数$f(x)=\lg(g(x))$，又函数$g(x)$在定义域内的单调递增区间为(-3,0]，所以函数$f(x)=\lg(9 - x^{2})$在定义域内的单调递增区间为(-3,0].

例1 (1)(多选)(2023·河北石家庄模拟)下列函数在(-∞,0)上单调递减的是 (　　　)
A. y=tanx
B. y=ln(-x)
C. y=$\frac{1}{2^{x}}$
D. y=-$\frac{1}{x}$

答案： BC［函数$y = \tan x$在$(-\infty,0)$上不单调，故A不满足题意；由复合函数的单调性可知函数$y = \ln(-x)$在$(-\infty,0)$上单调递减，故B满足题意；函数$y=\frac{1}{2^{x}} = (\frac{1}{2})^{x}$在$(-\infty,0)$上单调递减，故C满足题意；函数$y = -\frac{1}{x}$在$(-\infty,0)$上单调递增，故D不满足题意. 故选BC.］

(2)判断函数f(x)=$\frac{x}{x^{2}+1}$在(-1,1)上的单调性，并用定义证明。
[课堂笔记]　______________________________

答案： 解 函数$f(x)$在$(-1,1)$上是增函数. 证明如下：
任取$x_{1},x_{2}\in(-1,1)$且$x_{1}＜x_{2}$，则
$f(x_{1}) - f(x_{2})=\frac{x_{1}}{x_{1}^{2}+1}-\frac{x_{2}}{x_{2}^{2}+1}=\frac{x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}-x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}}{(x_{1}^{2}+1)(x_{2}^{2}+1)}$
$=\frac{x_{1}x_{2}(x_{2}-x_{1})+(x_{1}-x_{2})}{(x_{1}^{2}+1)(x_{2}^{2}+1)}=\frac{(x_{1}-x_{2})(1 - x_{1}x_{2})}{(x_{1}^{2}+1)(x_{2}^{2}+1)}$，
因为$-1＜x_{1}＜x_{2}＜1$，
所以$x_{1}-x_{2}＜0$，$-1＜x_{1}x_{2}＜1$，$1 - x_{1}x_{2}＞0$，
所以$f(x_{1}) - f(x_{2})＜0$，即$f(x_{1})＜f(x_{2})$.
所以函数$f(x)$在$(-1,1)$上是增函数.