《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

$|x_{1}-x_{2}|=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}$，$|y_{1}-y_{2}|=\sqrt{(y_{1}+y_{2})^{2}-4y_{1}y_{2}}$.

答案：

1. 概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
(1)直线与双曲线相交一定有两个公共点.（ ）
(2)直线$y = x$与双曲线$\frac{x^{2}}{5}-y^{2}=1$一定不相切.（ ）
(3)过双曲线上两点$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$的直线的斜率$k=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$.（ ）
(4)直线$y = x - 1$被双曲线$\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$截得的弦长为$\sqrt{2}$.（ ）

答案：
(1)×
(2)√
(3)×
(4)×

2. 小题热身
(1)直线$y=\frac{3}{2}x + 2$与双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1$的位置关系是（ ）
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 无法确定

答案： B [由$\begin{cases}y = \frac{3}{2}x + 2,\\\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1\end{cases}$得$\frac{x^{2}}{4}-\frac{(\frac{3}{2}x + 2)^{2}}{9}=1$整理，得$6x=-13$. 所以$x = -\frac{13}{6}$，故直线和双曲线只有一个交点，又双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{9}=1$的渐近线方程为$y=\pm\frac{3}{2}x$，所以直线$y = \frac{3}{2}x + 2$与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点. 所以直线与双曲线的位置关系为相交. 故选 B.]

(2)（人教A选择性必修第一册复习参考题3 T4改编）已知直线$y = kx - 1$与双曲线$x^{2}-y^{2}=1$没有公共点，则$k$的取值范围是______.

答案： 答案 $(-\infty,-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},+\infty)$
解析 由$\begin{cases}y = kx - 1,\\x^{2}-y^{2}=1\end{cases}$得$(1 - k^{2})x^{2}+2kx - 2 = 0$，当$1 - k^{2}=0$时，方程有解，即直线$y = kx - 1$与双曲线$x^{2}-y^{2}=1$有公共点；当$1 - k^{2}\neq0$时，由$\Delta = 4k^{2}+8(1 - k^{2})＜0$，解得$k＜-\sqrt{2}$或$k＞\sqrt{2}$. 故$k$的取值范围是$(-\infty,-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},+\infty)$.

(3)（人教A选择性必修第一册习题3.2 T1改编）直线$l$交双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}=1$于$A$，$B$两点，且$P(4,1)$为$AB$的中点，则$l$的斜率为______.

答案： 答案 2
解析 设点$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，因为$P(4,1)$为$AB$的中点，所以有$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=8,\\y_{1}+y_{2}=2.\end{cases}$又点$A$，$B$在双曲线上，则$\begin{cases}x_{1}^{2}-2y_{1}^{2}=4,\\x_{2}^{2}-2y_{2}^{2}=4\end{cases}$即$(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})=2(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})$，则$l$的斜率$k=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2(y_{1}+y_{2})}=\frac{8}{2\times2}=2$，此时直线$l$的方程为$y - 1 = 2(x - 4)$，由$\begin{cases}y = 2x - 7,\\x^{2}-2y^{2}=4\end{cases}$消去$y$并整理，得$7x^{2}-56x + 102 = 0$，$\Delta = 56^{2}-4\times7\times102 = 280＞0$，即直线$l$与双曲线交于两点，所以$l$的斜率为 2.

例1 若过点P(0,1)的直线l与双曲线E:$x^{2}-y^{2}=1$的右支交于不同的两点，则直线l的斜率的取值范围为 （ ）
A.(1,$\sqrt{2}$)
B.[-$\sqrt{2}$,-1]
C.[1,$\sqrt{2}$]
D.(-$\sqrt{2}$,-1)

答案： 例1 D [由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y = kx + 1，设交点A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，联立{y = kx + 1, x² - y² = 1}，得(1 - k²)x² - 2kx - 2 = 0，由题意，得{1 - k² ≠ 0, Δ = 4k² + 8(1 - k²) ＞ 0, x₁ + x₂ = 2k / (1 - k²) ＞ 0, x₁x₂ = -2 / (1 - k²) ＞ 0}，解得 -√2 ＜ k ＜ -1. 故选D.]

【巩固迁移】
1.(2024·重庆第二次联合诊断)已知点P(1,2)和双曲线C:$x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$,过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线l有 （ ）
A.2条
B.3条
C.4条
D.无数条

答案： [巩固迁移] 1.A [由题意可得，双曲线C:x² - y² / 4 = 1的渐近线方程为y = ±2x，点(1,0)是双曲线的顶点. 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x = 1，此时直线l与双曲线C只有一个公共点，符合题意；若直线l的斜率存在，则当直线l平行于渐近线y = -2x时，直线l与双曲线C只有一个公共点，符合题意；若直线l的斜率为2，则直线l的方程为y = 2x，此时直线l为双曲线C的一条渐近线，不符合题意. 综上所述，过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线l共有2条. 故选A.]