《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）公式$S_{2\alpha}$：$\sin2\alpha=$____________
（2）公式$C_{2\alpha}$：$\cos2\alpha=$____________$=$____________$=$____________
（3）公式$T_{2\alpha}$：$\tan2\alpha=$____________

答案： $2\sin\alpha\cos\alpha$
@@$\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha$，$2\cos^{2}\alpha - 1$，$1 - 2\sin^{2}\alpha$
@@$\frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^{2}\alpha}$

1. 概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）存在实数$\alpha$，$\beta$，使等式$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha + \sin\beta$成立. （ ）
（2）当$\alpha$是第一象限角时，$\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$. （ ）
（3）存在实数$\alpha$，使$\tan2\alpha = 2\tan\alpha$. （ ）

答案：
(1)√
(2)×
(3)√

（1）（多选）$\cos\alpha - \sqrt{3}\sin\alpha$化简的结果可以是（ ）
A. $\frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{6} - \alpha)$
B. $2\cos(\frac{\pi}{3} + \alpha)$
C. $\frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{3} - \alpha)$
D. $2\sin(\frac{\pi}{6} - \alpha)$

答案： BD $[\cos\alpha-\sqrt{3}\sin\alpha = 2(\frac{1}{2}\cos\alpha-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha)=2(\cos\alpha\cos\frac{\pi}{3}-\sin\alpha\sin\frac{\pi}{3}) = 2\cos(\alpha+\frac{\pi}{3}) = 2\sin(\frac{\pi}{6}-\alpha)$. 故选 BD.]

（2）（人教A必修第一册习题5.5 T4改编）已知$\sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$，$\cos\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，则$\tan\frac{\alpha}{2} =$（ ）
A. $2 - \sqrt{5}$
B. $2 + \sqrt{5}$
C. $\sqrt{5} - 2$
D. $\pm(\sqrt{5} - 2)$

答案： C $[\because\sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5},\cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5},\therefore\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}=\sqrt{5}-2$. 故选 C.]

（3）（人教B必修第三册习题8 - 2B T3改编）已知$\theta \in (\frac{5\pi}{2}, 3\pi)$且$\sin\theta = \frac{4}{5}$，则$\sin\frac{\theta}{2} =$______，$\cos\frac{\theta}{2} =$______.

答案： 答案 $-\frac{2\sqrt{5}}{5}$ $-\frac{\sqrt{5}}{5}$
解析 $\because\theta\in(\frac{5\pi}{2},3\pi)$且$\sin\theta=\frac{4}{5},\therefore\cos\theta=-\frac{3}{5},\frac{\theta}{2}\in(\frac{5\pi}{4},\frac{3\pi}{2}),\therefore\sin\frac{\theta}{2}=-\sqrt{\frac{1+\frac{3}{5}}{2}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5},\cos\frac{\theta}{2}=-\sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$.

（4）（人教A必修第一册复习参考题5 T13改编）已知$\alpha$为锐角，且$(\tan10^{\circ} - \sqrt{3})\sin\alpha = - 2\cos40^{\circ}$，则$\alpha =$______.

答案： 答案 $80^{\circ}$
解析 因为$(\tan10^{\circ}-\sqrt{3})\sin\alpha=-2\cos40^{\circ}$,所以$\sin\alpha=\frac{-2\cos40^{\circ}}{\tan10^{\circ}-\sqrt{3}}=\frac{-2\cos40^{\circ}\cos10^{\circ}}{\sin10^{\circ}-\sqrt{3}\cos10^{\circ}}=\frac{-2\cos40^{\circ}\cos10^{\circ}}{2(\frac{1}{2}\sin10^{\circ}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos10^{\circ})}=\frac{-2\cos40^{\circ}\cos10^{\circ}}{-2\sin50^{\circ}}=\cos10^{\circ}=\sin80^{\circ}$,又$\alpha$是锐角,所以$\alpha = 80^{\circ}$.