《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

1. 概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置. （ ）
（2）若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为$tan\alpha$. （ ）
（3）斜率相等的两条直线的倾斜角不一定相等. （ ）

答案：
(1)√
(2)×
(3)×

2. 小题热身
（1）(人教A选择性必修第一册习题2.1 T3改编)若直线经过两点A(m，1)，B(2 - 3m，2)，且其倾斜角为135°，则m的值为（ ）
A. 0 B. $-\frac{1}{2}$ C. $\frac{1}{2}$ D. $\frac{3}{4}$

答案：
(1)D [经过两点A(m,1),B(2 - 3m,2)的直线的斜率为k = $\frac{2 - 1}{2 - 3m - m}=\frac{1}{2 - 4m}$,又直线的倾斜角为135°,所以$\frac{1}{2 - 4m}=-1$,解得m = $\frac{3}{4}$. 故选D.]

（2）(人教A选择性必修第一册习题2.2 T2改编)设x，y为实数，已知直线的斜率k = 2，且A(3，5)，B(x，7)，C(-1，y)是这条直线上的三个点，则x + y =（ ）
A. 4 B. 3 C. -1 D. 1

答案：
(2)D [因为A(3,5),B(x,7),C(-1,y)是斜率k = 2的直线上的三个点,所以kₐₙ = kₐₑ = 2,所以$\frac{7 - 5}{x - 3}=\frac{y - 5}{-1 - 3}=2$,解得x = 4,y = -3,则x + y = 1. 故选D.]

（3）(人教A选择性必修第一册习题2.2 T10改编)如果$AC＜0$，$BC＞0$，那么直线$Ax + By + C = 0$不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限

答案：
(3)B [因为AC＜0,且BC＞0,所以A,B,C均不为零,将直线方程Ax + By + C = 0化为y = -$\frac{A}{B}x+(-\frac{C}{B})$,因为AC＜0,且BC＞0,可得直线的斜率k = -$\frac{A}{B}$＞0,在y轴上的截距为-$\frac{C}{B}$＜0,所以直线经过第一、三、四象限,不经过第二象限. 故选B.]

（4）过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________.

答案：
(4)答案 3x - 2y = 0或x + y - 5 = 0 解析 当截距为0时,直线方程为3x - 2y = 0;当截距不为0时,设直线方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$,则$\frac{2}{a}+\frac{3}{a}=1$,解得a = 5,所以直线方程为x + y - 5 = 0. 综上,直线方程为3x - 2y = 0或x + y - 5 = 0.

例1 （1）直线$y = -\sqrt{3}x + 3$的倾斜角为（ ）
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150°

答案：
(1)C　[设直线$y = -\sqrt{3}x + 3$的倾斜角为$\alpha$，因为直线的斜率为$k = \tan\alpha = -\sqrt{3}$，所以$\alpha = 120^{\circ}$。故选C。]

（2）已知点$A(-1,2)$，$B(2,\sqrt{3})$，$P(1,0)$，点$Q$是线段$AB$上的动点，则直线$PQ$的斜率的范围为______________，直线$PQ$的倾斜角的范围为______________.

答案：

(2)答案　$(-\infty,-1]\cup[\sqrt{3},+\infty)$　$[\frac{\pi}{3},\frac{3\pi}{4}]$
解析　如图，$k_{PA}=\frac{2 - 0}{-1 - 1} = -1$，$k_{PB}=\frac{\sqrt{3}-0}{2 - 1}=\sqrt{3}$，则直线$PQ$的斜率的范围为$(-\infty,-1]\cup[\sqrt{3},+\infty)$。因为直线$PA$，$PB$对应的倾斜角分别为$\frac{3\pi}{4}$，$\frac{\pi}{3}$，则直线$PQ$的倾斜角的范围为$[\frac{\pi}{3},\frac{3\pi}{4}]$。

1. 已知直线$l$的方程为$x\sin\alpha+\sqrt{3}y - 1 = 0$，$\alpha\in\mathbf{R}$，则直线$l$的倾斜角的取值范围是（ ）
A. $(0,\frac{\pi}{3}]\cup[\frac{2\pi}{3},\pi)$
B. $[0,\frac{\pi}{6}]\cup[\frac{5\pi}{6},\pi)$
C. $[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}]$
D. $[\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]$

答案： 1.B　[直线$l$的方程为$x\sin\alpha+\sqrt{3}y - 1 = 0$，则直线$l$的斜率$k = -\frac{\sqrt{3}}{3}\sin\alpha\in[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}]$，设直线$l$的倾斜角为$\theta(0\leqslant\theta\lt\pi)$，故$k = \tan\theta\in[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}]$，所以当$k\in[0,\frac{\sqrt{3}}{3}]$时，$\theta\in[0,\frac{\pi}{6}]$；当$k\in[-\frac{\sqrt{3}}{3},0)$时，$\theta\in[\frac{5\pi}{6},\pi)$。综上所述，直线$l$的倾斜角$\theta$的取值范围是$[0,\frac{\pi}{6}]\cup[\frac{5\pi}{6},\pi)$。故选B。]

2. 若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________.

答案：
2.答案　$\frac{1}{3}$　$-3$
解析　如图，在正方形$OABC$中，对角线$OB$所在直线的斜率为$2$，建立如图所示的平面直角坐标系。设对角线$OB$所在直线的倾斜角为$\theta$，则$\tan\theta = 2$，由正方形的性质可知，直线$OA$的倾斜角为$\theta - 45^{\circ}$，直线$OC$的倾斜角为$\theta + 45^{\circ}$，故$k_{OA}=\tan(\theta - 45^{\circ})=\frac{\tan\theta-\tan45^{\circ}}{1+\tan\theta\tan45^{\circ}}=\frac{2 - 1}{1 + 2}=\frac{1}{3}$，$k_{OC}=\tan(\theta + 45^{\circ})=\frac{\tan\theta+\tan45^{\circ}}{1-\tan\theta\tan45^{\circ}}=\frac{2 + 1}{1 - 2}=-3$。

例2 由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式：
（1）斜率是$-\frac{1}{2}$，经过点$A(8,-2)$；
（2）经过点$B(4,2)$，平行于$x$轴；
（3）在$x$轴和$y$轴上的截距分别是$\frac{3}{2}$，$-3$；
（4）经过两点$A(3,-2)$，$B(5,-4)$；
（5）在$x$轴上的截距是$-7$，倾斜角是45°；
（6）倾斜角为60°，与$y$轴的交点到$x$轴的距离是3.

答案： 例2　解　
(1)由点斜式得$y + 2 = -\frac{1}{2}(x - 8)$，即$x + 2y - 4 = 0$。
(2)因为直线平行于$x$轴，所以直线的斜率等于$0$，由点斜式得$y - 2 = 0\times(x - 4)$，即$y - 2 = 0$。
(3)因为在$x$轴和$y$轴上的截距分别是$\frac{3}{2}$，$-3$，所以直线方程的截距式为$\frac{x}{\frac{3}{2}}+\frac{y}{-3}=1$，即$2x - y - 3 = 0$。
(4)由两点式得$\frac{y + 2}{-4 + 2}=\frac{x - 3}{5 - 3}$，即$x + y - 1 = 0$。
(5)直线的斜率$k = \tan45^{\circ}=1$，由点斜式得$y - 0 = x + 7$，即$x - y + 7 = 0$。
(6)直线的斜率为$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$，因为直线与$y$轴的交点到$x$轴的距离是$3$，所以直线在$y$轴上的截距为$\pm3$，所以所求直线方程为$y=\sqrt{3}x + 3$或$y=\sqrt{3}x - 3$，即$\sqrt{3}x - y + 3 = 0$或$\sqrt{3}x - y - 3 = 0$。