《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

例2　（1）某人从2015年起，每年1月1日到银行新存入5万元（一年定期），若年利率为2.5％保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2025年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（单位：万元。参考数据：$1.025^{9}\approx1.25$，$1.025^{10}\approx1.28$，$1.025^{11}\approx1.31$）（ ）
A. 51
B. 57
C. 6.4
D. 6.55

答案： B [由题意，2015年存的5万元共存了10年，本息和为$5(1 + 0.025)^{10}$万元，2016年存的5万元共存了9年，本息和为$5(1 + 0.025)^9$万元，$\cdots$，2024年存的5万元共存了1年，本息和为$5(1 + 0.025)$万元，所以到2025年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为$5(1 + 0.025)^{10}+5(1 + 0.025)^9+\cdots+5(1 + 0.025)=5\times\frac{1.025\times(1.025^{10}-1)}{1.025 - 1}\approx5\times\frac{1.025\times(1.28 - 1)}{0.025}=57.4\approx57$万元.]

（2）（2022·新高考Ⅱ卷）图1是中国古代建筑中的举架结构，$AA'$，$BB'$，$CC'$，$DD'$是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举。图2是某古代建筑屋顶截面的示意图。其中$DD_{1}$，$CC_{1}$，$BB_{1}$，$AA_{1}$是举，$OD_{1}$，$DC_{1}$，$CB_{1}$，$BA_{1}$是相等的步，相邻桁的举步之比分别为$\frac{DD_{1}}{OD_{1}} = 0.5$，$\frac{CC_{1}}{DC_{1}}=k_{1}$，$\frac{BB_{1}}{CB_{1}}=k_{2}$，$\frac{AA_{1}}{BA_{1}}=k_{3}$。已知$k_{1}$，$k_{2}$，$k_{3}$成公差为0.1的等差数列，且直线$OA$的斜率为0.725，则$k_{3}=$（ ）

A. 0.75
B. 0.8
C. 0.85
D. 0.9

答案： D [设$OD_1 = DC_1 = CB_1 = BA_1 = 1$，则$DD_1 = 0.5$，$CC_1 = k_1$，$BB_1 = k_2$，$AA_1 = k_3$，依题意，有$k_3 - 0.2 = k_1$，$k_3 - 0.1 = k_2$，且$\frac{DD_1 + CC_1 + BB_1 + AA_1}{OD_1 + DC_1 + CB_1 + BA_1}=0.725$，所以$\frac{0.5 + 3k_3 - 0.3}{4}=0.725$，故$k_3 = 0.9$. 故选D.]

（3）（2022·全国乙卷）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造卫星。为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列$\{ b_{n}\}$：$b_{1}=1+\frac{1}{a_{1}}$，$b_{2}=1+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}}}$，$b_{3}=1+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{a_{3}}}}$，…，以此类推，其中$a_{k}\in\mathbf{N}^{*}(k = 1,2,\cdots)$，则（ ）
A. $b_{1}＜b_{5}$
B. $b_{3}＜b_{8}$
C. $b_{6}＜b_{2}$
D. $b_{4}＜b_{7}$

答案： D [解法一：当$n$取奇数时，由已知$b_1 = 1+\frac{1}{a_1}$，$b_3 = 1+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3}}}$，因为$\frac{1}{a_1}＞\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3}}}$，所以$b_1＞b_3$，同理可得$b_3＞b_5$，$b_5＞b_7$，$\cdots$，于是可得$b_1＞b_3＞b_5＞b_7＞\cdots$，故A不正确. 当$n$取偶数时，由已知$b_2 = 1+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2}}$，$b_4 = 1+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{a_4}}}}$，因为$\frac{1}{a_2}＞\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{a_4}}}$，所以$b_2＜b_4$，同理可得$b_4＜b_6$，$b_6＜b_8$，$\cdots$，于是可得$b_2＜b_4＜b_6＜b_8＜\cdots$，故C不正确. 因为$\frac{1}{a_1}＞\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2}}$，所以$b_1＞b_2$，同理可得$b_3＞b_4$，$b_5＞b_6$，$b_7＞b_8$，又$b_3＞b_7$，所以$b_3＞b_8$，故B不正确. 故选D.
　解法二(取特殊值)：取$a_k = 1$，于是有$b_1 = 2$，$b_2=\frac{3}{2}$，$b_3=\frac{5}{3}$，$b_4=\frac{8}{5}$，$b_5=\frac{13}{8}$，$b_6=\frac{21}{13}$，$b_7=\frac{34}{21}$，$b_8=\frac{55}{34}$. 于是得$b_1＞b_5$，$b_3＞b_8$，$b_3＞b_2$. 故选D.]

对点训练
2.（2024·焦作模拟）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12％，则该公司需经过______年年投入资金开始超过7000万元。（参考数据：$\lg1.12\approx0.049$，$\lg2\approx0.301$，$\lg7\approx0.845$）（ ）
A. 14
B. 13
C. 12
D. 11

答案： C [设该公司经过$n$年投入的资金为$a_n$万元，则$a_1 = 2000\times1.12$，由题意可知，数列$\{a_n\}$是以$2000\times1.12$为首项，1.12为公比的等比数列，所以$a_n = 2000\times1.12^n$，由$a_n = 2000\times1.12^n＞7000$可得$n＞\log_{1.12}\frac{7}{2}=\frac{\lg7-\lg2}{\lg1.12}\approx11.1$，因此该公司需经过12年其年投入资金开始超过7000万元. 故选C.]

3.（2023·北京高考）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”。已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列$\{ a_{n}\}$，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且$a_{1}=1$，$a_{5}=12$，$a_{9}=192$，则$a_{7}=$______；数列$\{ a_{n}\}$所有项的和为______。

答案： 答案　48　384
　解析　解法一：设前3项的公差为$d$，后7项的公比为$q(q ＞ 0)$，则$q^4=\frac{a_9}{a_5}=\frac{192}{12}=16$，且$q ＞ 0$，可得$q = 2$，则$a_3=\frac{a_5}{q^2}=3$，即$1 + 2d = 3$，可得$d = 1$，$a_7 = a_3q^4 = 48$，$a_1 + a_2+\cdots+a_9 = 1 + 2 + 3+3\times2+\cdots+3\times2^6 = 3+\frac{3\times(1 - 2^7)}{1 - 2}=384$.
　解法二：因为当$3\leq n\leq7$时，$\{a_n\}$为等比数列，则$a_7^2 = a_5a_9 = 12\times192 = 48^2$，且$a_n＞0$，所以$a_7 = 48$. 又$a_5^2 = a_3a_7$，则$a_3=\frac{a_5^2}{a_7}=3$. 设后7项的公比为$q(q ＞ 0)$，则$q^2=\frac{a_5}{a_3}=4$，解得$q = 2$，可得$a_1 + a_2 + a_3=\frac{3(a_1 + a_3)}{2}=6$，$a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9=\frac{a_3 - a_9q}{1 - q}=\frac{3 - 192\times2}{1 - 2}=381$，所以$a_1 + a_2+\cdots+a_9 = 6 + 381 - a_3 = 384$.