《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

4.(2023·湖北荆州模拟)在直三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，底面$ABC$为等腰直角三角形，且斜边$BC = 2$，$D$是$BC$的中点，若$AA_{1}=\sqrt{2}$，则异面直线$A_{1}C$与$AD$所成角的大小为（ ）
A.$30^{\circ}$ B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$ D.$90^{\circ}$
提示：同步《课时作业（B本）》P444

答案：
C　[如图，取B₁C₁的中点D₁，连接A₁D₁，则AD//A₁D₁，∠CA₁D₁(或其补角)就是异面直线A₁C与AD所成的角.连接D₁C.
∵A₁B₁ = A₁C₁，
∴A₁D₁⊥B₁C₁，又A₁D₁⊥CC₁，B₁C₁∩CC₁ = C₁，
∴A₁D₁⊥平面BCC₁B₁，
∵D₁C⊂平面BCC₁B₁，
∴A₁D₁⊥D₁C，
∴△A₁CD₁为直角三角形，在Rt△A₁CD₁中，A₁C = 2，CD₁ = $\sqrt{3}$，
∴∠CA₁D₁ = 60°.故选C.]

1. 线面平行的判定定理和性质定理

答案： 01.此平面内 02.$a\not\subset\alpha$ 03.$b\subset\alpha$ 04.$a// b$ 05.相交 06.$a//\alpha$
07.$a\subset\beta$ 08.$\alpha\cap\beta = b$

2. 面面平行的判定定理和性质定理

答案： 09.相交直线 10.$a\subset\beta$ 11.$b\subset\beta$ 12.$a\cap b = P$
13.$a//\alpha$ 14.$b//\alpha$ 15.相交 16.交线 17.$\alpha//\beta$ 18.$\alpha\cap\gamma = a$
19.$\beta\cap\gamma = b$