《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

（4）以弦AB为直径的圆与准线相切；

答案：

（5）以AF或BF为直径的圆与y轴相切；

答案：

（6）过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；

答案：

（7）通径：过焦点与对称轴垂直的弦，长度为2p；

答案：

（8）过F作两条互相垂直的直线l₁，l₂，直线l₁与C交于A，B两点，直线l₂与C交于D，E两点. 设直线l₁的倾斜角为α，则|AB| = 2p/sin²α，|DE| = 2p/sin²(α + π/2) = 2p/cos²α.

答案：

1. 概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）抛物线C：y² = 2px（p＞0）的焦点F到准线l的距离为2，则过点A（-1，0）恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点. （ ）
（2）已知过抛物线C：y² = x的焦点F的直线l与C交于A，B两点，若直线l垂直于x轴，则|AB| = 1. （ ）
（3）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y² = 4x的焦点为F，直线l的倾斜角为60°且经过点F. 若l与C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，则x₁x₂ = 2. （ ）

答案：
(1)×
(2)√
(3)×

（1）（人教A选择性必修第一册3.3例4改编）斜率为√3的直线过抛物线C：y² = 4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB| = （ ）
A. 8/3
B. 16/3
C. 5
D. 3√3

答案： B [由题意得，抛物线的焦点为$F(1,0)$，直线$AB$的方程为$y = \sqrt{3}(x - 1)$。由$\begin{cases}y = \sqrt{3}(x - 1)\\y^{2}=4x\end{cases}$，得$3x^{2}-10x + 3 = 0$。设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，则$x_{1}+x_{2}=\frac{10}{3}$，所以$|AB|=x_{1}+x_{2}+2=\frac{16}{3}$。]

（2）（人教A选择性必修第一册习题3.3 T12改编）过定点P（0，1）且与抛物线y² = 8x有且仅有一个公共点的直线有______条.

答案： 答案 3
解析 当斜率不存在时，直线方程为$x = 0$，只有一个公共点，符合题意；当斜率存在时，设直线方程为$y = kx + 1$，联立$\begin{cases}y = kx + 1\\y^{2}=8x\end{cases}$，得$k^{2}x^{2}+(2k - 8)x + 1 = 0$，当$k = 0$时，直线方程为$y = 1$，只有一个公共点，符合题意；当$k\neq0$时，令$\Delta=(2k - 8)^{2}-4k^{2}=0$，解得$k = 2$，即直线与抛物线有一个公共点，符合题意。所以满足题意的直线有 3 条。

（3）过点P（4，-3）作抛物线y = 1/4x²的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为______.

答案： 答案 $2x - y + 3 = 0$
解析 设切点为$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，又$y'=\frac{1}{2}x$，则切线$PA$的方程为$y - y_{1}=\frac{1}{2}x_{1}(x - x_{1})$，即$y=\frac{1}{2}x_{1}x - y_{1}$，同理，切线$PB$的方程为$y=\frac{1}{2}x_{2}x - y_{2}$，由$P(4,-3)$是$PA$，$PB$的交点可知，$-3 = 2x_{1}-y_{1}$，$-3 = 2x_{2}-y_{2}$，由两点确定一条直线，可得过$A$，$B$的直线方程为$-3 = 2x - y$，即$2x - y + 3 = 0$。

（4）（2024·山东济南模拟）已知A，B为抛物线C：x² = 4y上的两点，M（-1，2），若AM = MB，则直线AB的方程为______.

答案： 答案 $x + 2y - 3 = 0$
解析 由题意知点$M(-1,2)$在抛物线内，且$M(-1,2)$是线段$AB$的中点，设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，则$x_{1}+x_{2}=-2$，联立$\begin{cases}x_{1}^{2}=4y_{1}\\x_{2}^{2}=4y_{2}\end{cases}$，两式相减得$(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})=4(y_{1}-y_{2})$，即$k_{AB}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{4}=-\frac{1}{2}$，则直线$AB$的方程为$y - 2 = -\frac{1}{2}(x + 1)$，即$x + 2y - 3 = 0$。由$\begin{cases}x + 2y - 3 = 0\\x^{2}=4y\end{cases}$，消去$y$，得$x^{2}+2x - 6 = 0$，$\Delta=2^{2}-4\times(-6)＞0$，故斜率为$-\frac{1}{2}$符合题意。因此直线$AB$的方程为$x + 2y - 3 = 0$。

例1　　(1)过抛物线$x^{2}=4y$上一点$(4,4)$的抛物线的切线方程为　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $2x - y - 4 = 0$　　
　B. $2x + y - 4 = 0$
C. $x - 2y + 4 = 0$　　　
　D. $x + 2y + 4 = 0$

答案： A　[解法一:设切线方程为y−4=k(x−4).
由$\begin{cases}y - 4 = k(x - 4)\\x^{2}=4y\end{cases}\Rightarrow x^{2}=4(kx - 4k + 4)\Rightarrow x^{2}-4kx + 16(k - 1)=0$，由$\Delta=(-4k)^{2}-4\times16(k - 1)=0$，得$k^{2}-4k + 4 = 0$．
$\therefore k = 2$．故切线方程为y - 4 = 2(x - 4)，即2x - y - 4 = 0．
解法二:由$x^{2}=4y$，得$y=\frac{x^{2}}{4}$，$\therefore y'=\frac{x}{2}$．$\therefore y'\vert_{x = 4}=\frac{4}{2}=2$．
$\therefore$切线方程为y - 4 = 2(x - 4)，即2x - y - 4 = 0．]

(2)(2023·四川成都适应性考试)已知$A$，$B$为抛物线$y = x^{2}$上两点，以$A$，$B$为切点的抛物线的两条切线交于点$P$，过点$A$，$B$的直线斜率为$k_{AB}$，若点$P$的横坐标为$\frac{1}{3}$，则$k_{AB}=$________.

答案： 答案　$\frac{2}{3}$
解析　设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，以A，B为切点的抛物线的切线斜率分别为$k_{A}$，$k_{B}$，由$y = x^{2}$，得$y' = 2x$，故$k_{A}=2x_{1}$，$k_{B}=2x_{2}$，所以切线PA的方程为$y - x_{1}^{2}=2x_{1}(x - x_{1})$，即$x_{1}^{2}-2x_{1}x + y = 0$．同理可得，切线PB的方程为$x_{2}^{2}-2x_{2}x + y = 0$．设点P的坐标为$(x_{0},y_{0})$，所以$x_{1}^{2}-2x_{1}x_{0}+y_{0}=0$，$x_{2}^{2}-2x_{2}x_{0}+y_{0}=0$，所以$x_{1}$，$x_{2}$为方程$x^{2}-2x_{0}x + y_{0}=0$的两根，故$x_{1}+x_{2}=2x_{0}$，$x_{1}x_{2}=y_{0}$，则$k_{AB}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=x_{1}+x_{2}=2x_{0}=\frac{2}{3}$．

[巩固迁移]
1.(多选)(2023·辽宁名校联考)已知抛物线$C:x^{2}=2py(p ＞ 0)$的准线$l$的方程为$y = - 1$，过$C$的焦点$F$的直线与$C$交于$A$，$B$两点，以$A$，$B$为切点分别作$C$的两条切线，且两切线交于点$M$，则下列结论正确的是　　　　　　(　　　)
A. $C$的方程为$x^{2}=2y$
B. $\angle AMB = 90^{\circ}$
C. $M$恒在$l$上
D. $|MF|^{2}=|AF|\cdot|BF|$

答案： BCD　[由题得$-\frac{p}{2}=-1$，所以p = 2，因此C的方程为$x^{2}=4y$，A错误;由题意可知AB的斜率存在，$F(0,1)$，设AB的方程为y = kx + 1，$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，由$\begin{cases}y = kx + 1\\x^{2}=4y\end{cases}$，得$x^{2}-4kx - 4 = 0$，所以$x_{1}+x_{2}=4k$，$x_{1}x_{2}=-4$．由$y=\frac{1}{4}x^{2}$得$y'=\frac{1}{2}x$，所以AM的斜率为$k_{AM}=\frac{1}{2}x_{1}$，所以AM的方程为$y - y_{1}=\frac{1}{2}x_{1}(x - x_{1})$，即$y-\frac{1}{4}x_{1}^{2}=\frac{1}{2}x_{1}(x - x_{1})$ ①，
同理BM的斜率为$k_{BM}=\frac{1}{2}x_{2}$，所以BM的方程为$y-\frac{1}{4}x_{2}^{2}=\frac{1}{2}x_{2}(x - x_{2})$ ②，所以$k_{AM}\cdot k_{BM}=\frac{1}{4}x_{1}x_{2}=-1$，即AM⊥BM，所以$\angle AMB = 90^{\circ}$，B正确;由①②得$(x_{2}-x_{1})y=\frac{1}{4}x_{1}x_{2}(x_{2}-x_{1})$，因为$x_{1}\neq x_{2}$，所以y = - 1，将y = - 1代入①得$x=\frac{x_{2}+x_{1}}{2}=2k$，所以点M的坐标为(2k，- 1)，又C的准线l的方程为y = - 1，所以M恒在l上，C正确;当AB的斜率k不为零时，则$k_{MF}=\frac{-1 - 1}{2k}=-\frac{1}{k}$，所以$k_{AB}\cdot k_{MF}=-1$，所以AB⊥MF，当AB的斜率k = 0时，点M的坐标为(0，- 1)，显然AB⊥MF，在Rt△ABM中，由△AMF∽△MBF得$\frac{|MF|}{|AF|}=\frac{|BF|}{|MF|}$，所以$|MF|^{2}=|AF|\cdot|BF|$，D正确．故选BCD．]