《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

2. 与-2024°角终边相同的最小正角是 ，最大负角是 .

答案： 答案 136° －224°
解析
∵－2024°＝－6×360°＋136°，
∴－2024°角的终边与136°角的终边相同，
∴－2024°角是第二象限角.与－2024°角终边相同的最小正角是136°.又136°－360°＝－224°，故与－2024°角终边相同的最大负角是－224°.

例2　已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α=60°，R=10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm²，求扇形的圆心角；
(3)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大?

答案： 解 （1）因为α＝60°＝$\frac{\pi}{3}$，所以l＝αR＝$\frac{\pi}{3}$×10＝$\frac{10\pi}{3}$(cm).
（2）由题意，得$\begin{cases}2R+\alpha R = 10,\\\frac{1}{2}\alpha R^{2}=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}R = 1,\\\alpha = 8\end{cases}$（舍去）或$\begin{cases}R = 4,\\\alpha=\frac{1}{2}\end{cases}$.
故扇形的圆心角为$\frac{1}{2}$.
（3）由已知，得l＋2R＝20(cm).
解法一：S＝$\frac{1}{2}$lR＝$\frac{1}{2}$(20－2R)R＝10R－R²＝－(R－5)²＋25，所以当R＝5 cm时，S取得最大值，且最大值为25 cm²，此时l＝10 cm，α＝2.
解法二：S＝$\frac{1}{2}$lR＝$\frac{1}{4}$l(2R)≤$\frac{1}{4}$$(\frac{l + 2R}{2})^{2}$＝25，当且仅当l＝2R＝10，即R＝5时，Smax＝25 cm²，此时α＝2.

[巩固迁移]
3. (2023·浙江名校联考)如图1是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展. 如图2是会徽的几何图形，设弧$\widehat{AD}$的长度是$l_1$，弧$\widehat{BC}$的长度是$l_2$，几何图形ABCD的面积为$S_1$，扇形BOC的面积为$S_2$，若$\frac{l_1}{l_2}=2$，则$\frac{S_1}{S_2}=$　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)


A. 1　　　
　B. 2　　　
　C. 3　　　
　D. 4

答案： C [设∠AOD＝θ，OA＝r1，OB＝r2，则l1＝θ×r1，l2＝θ×r2，又$\frac{l_{1}}{l_{2}}$＝2，所以$\frac{r_{1}}{r_{2}}$＝2，即B是OA的中点，所以S1＝$\frac{1}{2}$θ(r1²－r2²)＝$\frac{3}{2}$θr2²，S2＝$\frac{1}{2}$θr2²，所以$\frac{S_{1}}{S_{2}}$＝3.故选C.]

例3　　(1)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点P(4,y)，且$\sin\theta=-\frac{3}{5}$，则$\tan\theta=$　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $-\frac{4}{3}$　
　B. $\frac{4}{3}$　　
　C. $-\frac{3}{4}$　
　D. $\frac{3}{4}$

答案： C [因为点P(4，y)到坐标原点的距离r＝$\sqrt{4^{2}+y^{2}}$＝$\sqrt{16 + y^{2}}$，所以sinθ＝$\frac{y}{r}$＝$\frac{y}{\sqrt{16 + y^{2}}}$＝－$\frac{3}{5}$，解得y＝－3或y＝3（舍去），所以tanθ＝$\frac{y}{x}$＝$\frac{-3}{4}$＝－$\frac{3}{4}$.故选C.]

(2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y = -2x上，则2$\sin\theta\cos\theta=$　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $\frac{3}{5}$　　
　B. $-\frac{3}{5}$　
　C. $\frac{4}{5}$　　
　D. $-\frac{4}{5}$

答案： D [在角θ的终边所在的直线y＝－2x上任取一点P(a，－2a)(a≠0)，则r＝|OP|＝$\sqrt{5}$|a|.由三角函数的定义知sinθ＝$\frac{-2a}{\sqrt{5}|a|}$，cosθ＝$\frac{a}{\sqrt{5}|a|}$，故2sinθcosθ＝2·$\frac{-2a}{\sqrt{5}|a|}$·$\frac{a}{\sqrt{5}|a|}$＝－$\frac{4}{5}$.故选D.]