《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

3.(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C −A).
　(1)证明:2a²=b²+c²;
　(2)若a=5,cosA=$\frac{25}{31}$,求△ABC的周长.

答案： 解
(1)证明：已知$\sin C\sin(A - B)=\sin B\cdot\sin(C - A)$，
可化简为$\sin C\sin A\cos B-\sin C\cos A\sin B=\sin B\sin C\cos A-\sin B\cos C\sin A$。
由正弦定理可得$ac\cos B - bc\cos A=bc\cos A - ab\cos C$，
即$ac\cos B = 2bc\cos A - ab\cos C$。
由余弦定理可得$ac\cdot\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=2bc\cdot\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}-ab\cdot\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$，即$2a^{2}=b^{2}+c^{2}$。
(2)由
(1)可知$b^{2}+c^{2}=2a^{2}=50$，
$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{50 - 25}{2bc}=\frac{25}{2bc}=\frac{25}{31}$。
$\therefore2bc = 31$。
$\because b^{2}+c^{2}+2bc=(b + c)^{2}=81$，
$\therefore b + c = 9$，$\therefore a + b + c = 14$。
$\therefore\triangle ABC$的周长为14。

例4　　(2023·内蒙古呼伦贝尔模拟)在△ABC 中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinCcos$\frac{B}{2}$
　=($\frac{2\sqrt{3}}{3}$−cosC)sin$\frac{B}{2}$.
　(1)当B=$\frac{π}{3}$时，求sinC+sinA的值;
　(2)求B的最大值.

答案： 解
(1)由题意，得$\sin C\cos\frac{\pi}{6}=(\frac{2\sqrt{3}}{3}-\cos C)\sin\frac{\pi}{6}$，
即$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin C+\frac{1}{2}\cos C=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则$\sin C+\sin A=\sin C+\sin(C+\frac{\pi}{3})=\frac{3}{2}\sin C+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos C=\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin C+\frac{1}{2}\cos C)=1$。
(2)$\sin C\cos\frac{B}{2}=(\frac{2\sqrt{3}}{3}-\cos C)\sin\frac{B}{2}$，两边同乘以$2\cos\frac{B}{2}$，
得$2\sin C\cos^{2}\frac{B}{2}=(\frac{2\sqrt{3}}{3}-\cos C)\cdot2\sin\frac{B}{2}\cos\frac{B}{2}$，
即$\sin C(1+\cos B)=(\frac{2\sqrt{3}}{3}-\cos C)\sin B$，
整理，得$\sin C+\sin A=\frac{2\sqrt{3}}{3}\sin B$。
由正弦定理，得$a + c=\frac{2\sqrt{3}}{3}b$。
由余弦定理，得$\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}=\frac{(a + c)^{2}-b^{2}-2ac}{2ac}=\frac{b^{2}}{6ac}-1$。
因为$ac\leqslant\frac{(a + c)^{2}}{4}=\frac{1}{3}b^{2}$，当且仅当$a = c$时等号成立，所以$\cos B=\frac{b^{2}}{6ac}-1\geqslant-\frac{1}{2}$，
由于$B\in(0,\pi)$，而$y = \cos x$在$(0,\pi)$上单调递减，故$B$的最大值为$\frac{2\pi}{3}$。