《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

$\Delta＞0\Leftrightarrow$有__________交点$\Leftrightarrow$相交；
$\Delta = 0\Leftrightarrow$有__________交点$\Leftrightarrow$相切；
$\Delta＜0\Leftrightarrow$__________交点$\Leftrightarrow$相离.

答案： 两个
@@一个
@@无

1. 概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦. （ ）
（2）直线$y = x$与椭圆$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$一定相交. （ ）
（3）直线$y = x - 1$被椭圆$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$截得的弦长为$\sqrt{2}$. （ ）

答案： 1.
(1)√
(2)√
(3)×

2. 小题热身
（1）（人教A选择性必修第一册习题3.1 T14改编）直线$y = kx - k + 1$与椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$的位置关系为（ ）
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 不确定

答案： 2.
(1)A [直线$y = kx - k + 1 = k(x - 1)+1$恒过定点$(1,1)$，又点$(1,1)$在椭圆内部，故直线与椭圆相交.]

（2）椭圆$C:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右顶点分别为$M$，$N$，点$P$在$C$上，且直线$PN$的斜率为$-\frac{1}{4}$，则直线$PM$的斜率为（ ）
A. $\frac{1}{3}$
B. 3
C. $-\frac{1}{3}$
D. -3

答案： 2.
(2)B [
∵椭圆$C:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$的左、右顶点分别为$M,N$，
∴点$M$的坐标为$(-2,0)$，点$N$的坐标为$(2,0)$，又直线$PN$的斜率为$-\frac{1}{4}$，
∴直线$PN$的方程为$y = -\frac{1}{4}(x - 2)$，代入椭圆$C$的方程$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$，得$13x^{2}-4x - 44 = 0$，设点$P$的坐标为$(x,y)$，则$x + 2=\frac{4}{13}$，解得$x = -\frac{22}{13}$，$y=\frac{12}{13}$，故直线$PM$的斜率$k = \frac{\frac{12}{13}}{-\frac{22}{13}+2}=3$. 故选 B.]

（3）已知椭圆$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$的右顶点为$A(1,0)$，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆的方程为__________________.

答案： 2.
(3)答案 $\frac{y^{2}}{4}+x^{2}=1$
解析 因为椭圆$\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$的右顶点为$A(1,0)$，所以$b = 1$，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为$1$，所以$\frac{2b^{2}}{a}=1$，$a = 2$，所以椭圆的方程为$\frac{y^{2}}{4}+x^{2}=1$.

（4）（人教A选择性必修第一册习题3.1 T13改编）已知椭圆$C_1:\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$，过点$P(2,2)$作椭圆$C_1$的切线，则切线方程为________________.

答案： 2.
(4)答案 $x - 8y + 14 = 0$或$x = 2$
解析 因为$\frac{2^{2}}{4}+\frac{2^{2}}{3}＞1$，所以点$P$在$C_{1}$外部，当斜率不存在时，易知$x = 2$为椭圆的一条切线；当斜率存在时，设切线斜率为$k$，则切线方程为$y - 2 = k(x - 2)$，代入$C_{1}$中，并整理得$(3 + 4k^{2})x^{2}+16(k - k^{2})x + 16k^{2}-32k + 4 = 0$，因为直线与椭圆相切，则$\Delta=[16(k - k^{2})]^{2}-4(3 + 4k^{2})(16k^{2}-32k + 4)=0$，解得$k=\frac{1}{8}$，此时切线方程为$x - 8y + 14 = 0$，所以切线方程为$x - 8y + 14 = 0$或$x = 2$.

例1 已知直线l：y = 2x + m，椭圆C：$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
（1）有两个不重合的公共点；
（2）有且只有一个公共点；
（3）没有公共点.

答案： 解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组$\begin{cases}y = 2x + m,\\\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1,\end{cases}$
消去y并整理，得$9x^{2}+8mx + 2m^{2}-4 = 0$，
$\Delta=(8m)^{2}-4\times9\times(2m^{2}-4)=-8m^{2}+144$.
(1)当$\Delta＞0$，即$-3\sqrt{2}＜m＜3\sqrt{2}$时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.
(2)当$\Delta=0$，即$m=\pm3\sqrt{2}$时，方程有两个相同的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
(3)当$\Delta＜0$，即$m＜-3\sqrt{2}$或$m＞3\sqrt{2}$时，方程没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点.