《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

诊断自测
1. 概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）对于非零向量 b，若 a·b = b·c，则 a = c.（ ）
（2）若{a，b，c}是空间的一个基底，则 a，b，c 中至多有一个零向量.（ ）
（3）空间直角坐标系中，在 yOz 平面上的点的坐标一定是(0，b，c).（ ）

答案：
(1)×
(2)×
(3)√

2. 小题热身
（1）（人教 A 选择性必修第一册习题 1.2 T2 改编）若{a，b，c}为空间向量的一个基底，则下列各项中，能构成空间向量的一个基底的是（ ）
A. {a，a + b，a - b} B. {b，a + b，a - b}
C. {c，a + b，a - b} D. {a + b，a - b，a + 2b}

答案：
(1)C [$\because\lambda\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b}(\lambda,\mu\in\mathbf{R})$与$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$共面，$\therefore$A，B，D不符合题意. 故选C.]

（2）（人教 A 选择性必修第一册习题 1.1 T2 改编）如图，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点.若 AB = a，AD = b，AA1 = c，则下列向量中与 BM 相等的向量是（ ）
A. - 1/2 a + 1/2 b + c B. 1/2 a + 1/2 b + c
C. - 1/2 a - 1/2 b + c D. 1/2 a - 1/2 b + c

答案：
(2)A [由题意，得$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{B_{1}M}=\overrightarrow{AA_{1}}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\boldsymbol{c}+\frac{1}{2}(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$. 故选A.]

（3）（2024·山东济南期中）在平面 ABCD 中，AB = (- 1，1，- 1)，AC = (- 1，3，4)，AD = (a，- 2，0)，则实数 a = ________.

答案：
(3)答案 $\frac{10}{7}$
解析 由于$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$共面，所以存在实数$x,y$，使得$\overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，所以$\begin{cases}\boldsymbol{a}=-x - y\\-2=x + 3y\\0=-x + 4y\end{cases}$，解得$x=-\frac{8}{7},y=-\frac{2}{7}$，$a=\frac{10}{7}$.

（4）（2024·四川成都树德中学模拟）已知平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，AA1 = 2，∠A1AB = ∠A1AD = 60°，则AD1·AC = ________.

答案：

(4)答案 3
解析 设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{c}$，由题意得，$\vert\boldsymbol{a}\vert = 1,\vert\boldsymbol{b}\vert = 1,\vert\boldsymbol{c}\vert = 2,\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0,\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=1,\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=1,\overrightarrow{AD_{1}}\cdot\overrightarrow{AC}=(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})\cdot(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a})=\boldsymbol{b}^{2}+\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}+\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}+\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}=1 + 1+0 + 1 = 3$.

例1　　如图所示,在平行六面体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中,设$\overrightarrow{AA_{1}} = \boldsymbol{a},\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{b},\overrightarrow{AD} = \boldsymbol{c}$,$M$,$N$,$P$分别是$AA_{1}$,$BC$,$C_{1}D_{1}$的中点,试用$\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{c}$表示以下各向量:
　(1)$\overrightarrow{AP}$;
　(2)$\overrightarrow{A_{1}N}$;
　(3)$\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NC_{1}}$。

答案：
证明 依题意，以A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)。

由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)。
(1)因为$\overrightarrow{BE}=(0,1,1)$，$\overrightarrow{DC}=(2,0,0)$，$\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{DC}=0$，所以$BE\perp DC$。
(2)因为$\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$为平面PAD的一个法向量，而$\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{AB}=(0,1,1)\cdot(1,0,0)=0$，所以$BE\perp AB$，又$BE\not\subset$平面PAD，所以$BE//$平面PAD。
(3)由
(2)知平面PAD的一个法向量为$\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$，$\overrightarrow{PD}=(0,2, - 2)$，$\overrightarrow{DC}=(2,0,0)$，设平面PCD的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{PD}=0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{DC}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}2y - 2z = 0\\2x = 0\end{cases}$，取$y = 1$，得$\boldsymbol{n}=(0,1,1)$。因为$\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AB}=(0,1,1)\cdot(1,0,0)=0$，所以$\boldsymbol{n}\perp\overrightarrow{AB}$。所以平面PCD$\perp$平面PAD。
[巩固迁移] 1.证明
(1)设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，

则$C_1(2,2,2)$，$A_1(0,0,2)$，$B(2,0,0)$，$D(0,2,0)$，$\overrightarrow{AC_1}=(2,2,2)$，$\overrightarrow{A_1B}=(2,0, - 2)$，$\overrightarrow{A_1D}=(0,2, - 2)$，因为$\overrightarrow{AC_1}\cdot\overrightarrow{A_1B}=0$，$\overrightarrow{AC_1}\cdot\overrightarrow{A_1D}=0$，所以$AC_1\perp A_1B$，$AC_1\perp A_1D$，由于$A_1B\cap A_1D = A_1$，所以$AC_1\perp$平面$A_1BD$。
(2)由
(1)知，$\overrightarrow{AC_1}=(2,2,2)$是平面$A_1BD$的一个法向量。$E(1,1,2)$，$F(2,1,1)$，$\overrightarrow{EF}=(1,0, - 1)$，$\overrightarrow{AC_1}\cdot\overrightarrow{EF}=0$，$EF\not\subset$平面$A_1BD$，所以$EF//$平面$A_1BD$。
(3)由
(1)，得$B_1(2,0,2)$，$\overrightarrow{B_1F}=(0,1, - 1)$，
ABD，$CD\subset$平面ACD，$BD\subset$平面ABD，所以$AB\perp CD$，$AC\perp BD$，又$AD\perp BC$，所以$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=0$，所以D正确。故选ABD。]