《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

1.$(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}}\cdot\frac{\sqrt{(4ab^{-1})^{3}}}{(0.1)^{-1}\cdot(a^{3}\cdot b^{-3})^{\frac{1}{2}}}(a＞0,b＞0)=$______．

答案： 答案 $\frac{8}{5}$
解析 原式=$\frac{2\cdot4^{\frac{1}{2}}a^{\frac{3}{2}}b^{-\frac{3}{2}}}{10a^{\frac{1}{2}}b^{-\frac{1}{2}}}=\frac{8}{5}$.

2.若$x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=3$，则$x^{2}+x^{-2}=$______．

答案： 答案 47
解析 由$x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=3$,得$x + x^{-1}=7$,再平方得$x^{2}+x^{-2}=47$.

例2　　(1)(2024·安徽合肥八中月考)函数①$y = a^{x}$；②$y = b^{x}$；③$y = c^{x}$；④$y = d^{x}$的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：$\frac{5}{4}$，$\sqrt{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$中的一个，则a，b，c，d的值分别是（　　　）
A.$\frac{5}{4}$，$\sqrt{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$
B.$\sqrt{3}$，$\frac{5}{4}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\sqrt{3}$，$\frac{5}{4}$
D.$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$，$\sqrt{3}$
　　　　　　　　　　　　　

答案： （1）C [由题图,直线$x = 1$与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为$c,d,a,b$,而$\sqrt{3}＞\frac{5}{4}＞\frac{1}{2}＞\frac{1}{3}$,故选C.]

(2)(2024·江苏南京金陵高三期末)若直线y = 3a与函数y = |$a^{x}-1$|（a＞0，且a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围为______．

答案：
（2）答案 $(0,\frac{1}{3})$
解析 当$0 ＜ a ＜ 1$时,$y = |a^{x}-1|$的图象如图1所示,由已知得$0 ＜ 3a ＜ 1$,$\therefore0 ＜ a ＜ \frac{1}{3}$;当$a ＞ 1$时,$y = |a^{x}-1|$的图象如图2所示,由已知可得$0 ＜ 3a ＜ 1$,$\therefore0 ＜ a ＜ \frac{1}{3}$,结合$a ＞ 1$可得$a$无解.综上可知,$a$的取值范围为$(0,\frac{1}{3})$.

3.(2024·广东深圳中学高三摸底)函数$y = e^{-|x|}（e$是自然对数的底数）的大致图象是（　　　）
　　

答案： C [$y = e^{-|x|}=\begin{cases}(\frac{1}{e})^{x},x\geq0\\e^{x},x ＜ 0\end{cases}$,易得函数$y = e^{-|x|}$为偶函数,且图象过$(0,1)$,$y = e^{-|x|}＞0$,函数在$(-\infty,0)$上单调递增,在$(0,+\infty)$上单调递减,故C符合题意.故选C.]

4.(多选)若实数x，y满足$4^{x}+5x = 5^{y}+4y$，则下列关系式中可能成立的是（　　　）
A.1＜x＜y
B.x = y
C.0＜x＜y＜1
D.y＜x＜0

答案：
BCD [设$f(x)=4^{x}+5x$,$g(x)=5^{x}+4x$,则$f(x),g(x)$都是增函数,画出函数$f(x)$,$g(x)$的图象,如图所示,根据图象可知,当$x = 0$时,$f(0)=g(0)=1$;当$x = 1$时,$f(1)=g(1)=9$,依题意,不妨设$f(x)=g(y)=t$,则$x,y$分别是直线$y = t$与函数$y = f(x)$,$y = g(x)$图象的交点的横坐标.当$t ＞ 9$时,若$f(x)=g(y)$,则$x ＞ y ＞ 1$,故A不正确;当$t = 9$或$t = 1$时,若$f(x)=g(y)$,则$x = y = 1$或$x = y = 0$,故B正确;当$1 ＜ t ＜ 9$时,若$f(x)=g(y)$,则$0 ＜ x ＜ y ＜ 1$,故C正确;当$t ＜ 1$时,若$f(x)=g(y)$,则$y ＜ x ＜ 0$,故D正确.故选BCD.]

例3　　(2023·天津高考)若$a = 1.01^{0.5}，$$b = 1.01^{0.6}，$$c = 0.6^{0.5}，$则a，b，c的大小关系为（　　　）
A.c＞a＞b
B.c＞b＞a
C.a＞b＞c
D.b＞a＞c

答案： D [解法一:因为函数$f(x)=1.01^{x}$是增函数,且$0.6＞0.5＞0$,所以$1.01^{0.6}＞1.01^{0.5}＞1$,即$b ＞ a ＞ 1$.因为函数$\varphi(x)=0.6^{x}$是减函数,且$0.5＞0$,所以$0.6^{0.5}＜0.6^{0}=1$,即$c ＜ 1$.综上,$b ＞ a ＞ c$.故选D.
解法二:因为函数$f(x)=1.01^{x}$是增函数,且$0.6＞0.5$,所以$1.01^{0.6}＞1.01^{0.5}$,即$b ＞ a$.因为函数$h(x)=x^{0.5}$在$(0,+\infty)$上单调递增,且$1.01＞0.6＞0$,所以$1.01^{0.5}＞0.6^{0.5}$,即$a ＞ c$.综上,$b ＞ a ＞ c$.故选D.]