《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

1. 概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则$l\perp \alpha$. （ ）
（2）垂直于同一个平面的两平面平行. （ ）
（3）若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面. （ ）
（4）若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线平行于平面β. （ ）

答案：
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√

2. 小题热身
（1）已知平面α⊥平面β，直线m⊂平面α，直线n⊂平面β，α∩β = l，给出下列说法：①若$m\perp n$，则$m\perp l$；②若$m\perp l$，则$m\perp \beta$；③若$m\perp \beta$，则$m\perp n$，其中正确说法的序号为（ ）
A. ①②③
B. ①②
C. ①③
D. ②③

答案： D [平面$\alpha \perp$平面$\beta$，直线$m\subset$平面$\alpha$，直线$n\subset$平面$\beta$，$\alpha \cap \beta =l$，①若$m\perp n$，可得$m$，$l$可能平行，故①错误；②若$m\perp l$，由面面垂直的性质定理可得$m\perp \beta$，故②正确；③若$m\perp \beta$，可得$m\perp n$，故③正确. 故选 D.]

（2）设m，n是两条不同的直线，α是平面，m，n不在α内，下列结论中错误的是（ ）
A. 若$m\perp \alpha$，$n// \alpha$，则$m\perp n$
B. 若$m\perp \alpha$，$n\perp \alpha$，则$m// n$
C. 若$m\perp \alpha$，$m\perp n$，则$n// \alpha$
D. 若$m\perp n$，$n// \alpha$，则$m\perp \alpha$

答案： D [对于 A，$\because n// \alpha$，由线面平行的性质定理可知，过直线$n$的平面$\beta$与平面$\alpha$的交线$l$平行于$n$，$\because m\perp \alpha$，$l\subset \alpha$，$\therefore m\perp l$，$\therefore m\perp n$，故 A 正确；对于 B，若$m\perp \alpha$，$n\perp \alpha$，由直线与平面垂直的性质，可得$m// n$，故 B 正确；对于 C，若$m\perp \alpha$，$m\perp n$，则$n// \alpha$或$n\subset \alpha$，又$n\not\subset \alpha$，$\therefore n// \alpha$，故 C 正确；对于 D，若$m\perp n$，$n// \alpha$，则$m// \alpha$或$m$与$\alpha$相交或$m\subset \alpha$，而$m\not\subset \alpha$，则$m// \alpha$或$m$与$\alpha$相交，故 D 错误. 故选 D.]

（3）（多选）（2024·山东聊城质检）已知两条不同的直线l，m和两个不重合的平面α，β，且$l\perp \beta$，下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若$m\perp \beta$，则$l// m$
B. 若$\alpha// \beta$，则$l\perp \alpha$
C. 若$\alpha\perp \beta$，则$l// \alpha$
D. 若$l\perp m$，则$m// \beta$

答案： AB [对于 A，由$l\perp \beta$，$m\perp \beta$，可得$l// m$，故 A 正确；对于 B，若$l\perp \beta$，$\alpha // \beta$，可得$l\perp \alpha$，故 B 正确；对于 C，若$l\perp \beta$，$\alpha \perp \beta$，则$l// \alpha$或$l\subset \alpha$，故 C 错误；对于 D，若$l\perp \beta$，$l\perp m$，则$m// \beta$或$m\subset \beta$，故 D 错误. 故选 AB.]

（4）（多选）（人教A必修第二册习题8.6 T20改编）如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任意一点，$AE\perp PC$，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中正确的是（ ）

A. $BC\perp$平面PAC
B. $AE\perp EF$
C. $AC\perp PB$
D. 平面AEF⊥平面PBC

答案： ABD [对于 A，$PA$垂直于以$AB$为直径的圆所在的平面，而$BC\subset$底面圆面，则$PA\perp BC$，又由圆的性质，可知$AC\perp BC$，且$PA\cap AC = A$，$PA$，$AC\subset$平面$PAC$，则$BC\perp$平面$PAC$，所以 A 正确；对于 B，由 A 项可知，$BC\perp AE$，由题意可知，$AE\perp PC$，且$BC\cap PC = C$，$BC$，$PC\subset$平面$PBC$，所以$AE\perp$平面$PBC$，而$EF\subset$平面$PBC$，所以$AE\perp EF$，所以 B 正确；对于 C，若$AC\perp PB$，因为$AC\perp BC$，$BC\cap PB = B$，$BC$，$PB\subset$平面$PBC$，所以$AC\perp$平面$PBC$，又$PC\subset$平面$PBC$，则$AC\perp PC$，与$AC\perp PA$矛盾，所以$AC\perp PB$不成立，所以 C 错误；对于 D，由 B 项可知，$AE\perp$平面$PBC$，$AE\subset$平面$AEF$，由面面垂直的判定定理，可得平面$AEF\perp$平面$PBC$，所以 D 正确. 故选 ABD.]

例1 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
②若m//α，n//β，m⊥n，则α⊥β；
③若m⊥α，n//β，m⊥n，则α//β；
④若m⊥α，n//β，α//β，则m⊥n.
其中所有正确的命题是（ ）
A.②③
B.①④
C.②④
D.①③

答案：
B [对于①，若m⊥n，过直线m上点A作直线l，使l//n，则直线m与l确定平面γ，且l⊥m，又n⊥β，如图1，则有l⊥β，因为m⊥α，m⊂γ，有γ∩α = c，因此m⊥c，由l⊥m且m，l，c⊂γ得c//l，则c⊥β，所以α⊥β，①正确；对于②，在正方体ABCD - A₁B₁C₁D₁中，令平面ABCD，平面A₁B₁C₁D₁分别为平面α，β，取棱AA₁，BB₁，DD₁的中点分别为M，N，P，连接MN，MP，令直线MN，MP分别为直线m，n，如图2，显然满足m//α，n//β，m⊥n，而α//β，②错误；对于③，取②中正方体，令平面ABCD，平面DCC₁D₁分别为平面α，β，直线AA₁，A₁B₁分别为直线m，n，显然满足m⊥α，n//β，m⊥n，而α⊥β，③错误；对于④，因为n//β，则存在过直线n的平面δ，使得δ∩β = b，于是有n//b，又m⊥α，α//β，则有m⊥β，从而有m⊥b，所以m⊥n，④正确. 故选B.]