《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

5.(2023·福建泉州高三质检)已知$a = (\frac{2}{3})^{-\frac{1}{3}}$，$b = (\frac{5}{3})^{-\frac{2}{3}}$，$c = (\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}}$，则（　　　）
A.a＞b＞c
B.c＞b＞a
C.c＞a＞b
D.b＞a＞c

答案： C [因为$(\frac{2}{3})^{-\frac{1}{3}}=(\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}＞1$,$(\frac{5}{3})^{-\frac{2}{3}}=(\frac{3}{5})^{\frac{2}{3}}＜1$,$(\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}}＞1$,$y = (\frac{3}{2})^{x}$在R上是增函数,所以$(\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}}＞(\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}}$,所以$(\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}}＞(\frac{2}{3})^{-\frac{1}{3}}＞(\frac{5}{3})^{-\frac{2}{3}}$,即$c ＞ a ＞ b$.]

例4　　(1)(多选)若$4^{x}-4^{y}＜5^{-x}-5^{-y}$，则下列关系式正确的是（　　　）
A.x＜y
B.$y^{-3}＞x^{-3}$
C.$\sqrt{x}＞\sqrt{y}$
D.$(\frac{1}{3})^{y}＜3^{-x}$

答案： （1）AD [由$4^{x}-4^{y}＜5^{-x}-5^{-y}$,得$4^{x}-5^{-x}＜4^{y}-5^{-y}$,令$f(x)=4^{x}-5^{-x}$,则$f(x)＜f(y)$.因为$g(x)=4^{x}$,$h(x)=-5^{-x}$在R上都是增函数,所以$f(x)$在R上是增函数,所以$x ＜ y$,故A正确;因为$G(x)=x^{-3}$在$(0,+\infty)$和$(-\infty,0)$上都单调递减,所以当$x ＜ y ＜ 0$时,$x^{-3}＞y^{-3}$,故B错误;当$x ＜ 0$,$y ＜ 0$时,$\sqrt{x},\sqrt{y}$无意义,故C错误;因为$y = (\frac{1}{3})^{x}$在R上是减函数,且$x ＜ y$,所以$(\frac{1}{3})^{y}＜(\frac{1}{3})^{x}$,即$(\frac{1}{3})^{y}＜3^{-x}$,故D正确.故选AD.]

(2)已知实数a≠1，函数$f(x)=\begin{cases}4^{x},x\geq0,\\2^{a - x},x＜0,\end{cases}$若f(1 - a) = f(a - 1)，则a的值为______．

答案： （2）答案 $\frac{1}{2}$
解析 当$a ＜ 1$时,$4^{1 - a}=2^{2}$,解得$a=\frac{1}{2}$;当$a ＞ 1$时,$2^{a-(1 - a)}=4^{a - 1}$,无解.故$a$的值为$\frac{1}{2}$.

6.函数$y=(0.5^{x}-8)^{-\frac{1}{2}}$的定义域为______．

答案： 答案 $(-\infty,-3)$
解析 因为$y=(0.5^{x}-8)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{0.5^{x}-8}}$,所以$0.5^{x}-8＞0$,则$2^{-x}＞2^{3}$,即$-x ＞ 3$,解得$x ＜ -3$,故函数$y=(0.5^{x}-8)^{-\frac{1}{2}}$的定义域为$(-\infty,-3)$.

7.当$0＜x＜\frac{1}{2}$时，方程$a^{x}=\frac{1}{x}$（a＞0，且a≠1）有解，则实数a的取值范围是______．

答案：
答案 $(4,+\infty)$
解析 依题意,当$x\in(0,\frac{1}{2})$时,$y = a^{x}$与$y=\frac{1}{x}$的图象有交点,作出$y=\frac{1}{x}$的部分图象,如图所示,所以$\begin{cases}a ＞ 1\\a^{\frac{1}{2}}＞2\end{cases}$,解得$a ＞ 4$.

例5　　(1)函数$f(x)=3^{-x^{2}+1}$的值域为______．
(2)函数$y = (\frac{1}{2})^{2x}-8\cdot(\frac{1}{2})^{x}+17$的单调递增区间为______．

答案： （1）答案 $(0,3]$
解析 设$t=-x^{2}+1$,则$t\leq1$,所以$0 ＜ 3^{t}\leq3$,故函数$f(x)$的值域为$(0,3]$.
（2）答案 $[-2,+\infty)$
解析 设$t = (\frac{1}{2})^{x}＞0$,又$y = t^{2}-8t + 17=(t - 4)^{2}+1$在$(0,4]$上单调递减,在$(4,+\infty)$上单调递增.由$(\frac{1}{2})^{x}\leq4$,得$x\geq - 2$,由$(\frac{1}{2})^{x}＞4$,得$x ＜ - 2$,而函数$t = (\frac{1}{2})^{x}$在R上单调递减,所以函数$y = (\frac{1}{2})^{2x}-8\cdot(\frac{1}{2})^{x}+17$的单调递增区间为$[-2,+\infty)$.

8.(多选)已知定义在[ - 1，1]上的函数$f(x)=-2\cdot9^{x}+4\cdot3^{x}$，则下列结论中正确的是（　　　）
A.f(x)的单调递减区间是[0，1]
B.f(x)的单调递增区间是[ - 1，1]
C.f(x)的最大值是f(0)=2
D.f(x)的最小值是f(1)= - 6

答案： ACD [设$t = 3^{x}$,$x\in[-1,1]$,则$t = 3^{x}$是增函数,且$t\in[\frac{1}{3},3]$,又函数$y=-2t^{2}+4t=-2(t - 1)^{2}+2$在$[\frac{1}{3},1]$上单调递增,在$[1,3]$上单调递减,因此$f(x)$在$[-1,0]$上单调递增,在$[0,1]$上单调递减,故A正确,B错误;$f(x)_{\max}=f(0)=2$,故C正确;$f(-1)=\frac{10}{9}$,$f(1)=-6$,因此$f(x)$的最小值是$f(1)=-6$,故D正确.故选ACD.]

9.若函数$f(x)=(\frac{1}{3})^{ax^{2}+2x + 3}$的值域是$(0,\frac{1}{9}]$，则f(x)的单调递增区间是______．

答案： 答案 $(-\infty,-1]$
解析 $\because y = (\frac{1}{3})^{x}$是减函数,且$f(x)$的值域是$(0,\frac{1}{9}]$,$\therefore t = ax^{2}+2x + 3$有最小值2,则$a ＞ 0$且$\frac{12a - 2^{2}}{4a}=2$,解得$a = 1$,因此$t = x^{2}+2x + 3$的单调递减区间是$(-\infty,-1]$,故$f(x)$的单调递增区间是$(-\infty,-1]$.