《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

例1　(2024·山东青岛质检)已知动点M(x,y)满足$\sqrt{x^{2}+(y - 3)^{2}}-\sqrt{x^{2}+(y + 3)^{2}} = 4$，则动点M的轨迹方程为________________.
[课堂笔记]
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答案： $\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{5}=1(y\leq -2)$

【巩固迁移】
1. 已知圆$C_{1}:(x + 3)^{2}+y^{2}=1$，$C_{2}:(x - 3)^{2}+y^{2}=9$，动圆M同时与圆$C_{1}$和圆$C_{2}$外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为 （ ）
A. $x^{2}-\frac{y^{2}}{8}=1$
B. $\frac{x^{2}}{8}-y^{2}=1$
C. $x^{2}-\frac{y^{2}}{8}=1(x\leqslant - 1)$
D. $x^{2}-\frac{y^{2}}{8}=1(x\geqslant 1)$

答案： C

例2　已知$F_{1}$，$F_{2}$为双曲线$C:x^{2}-y^{2}=2$的左、右焦点，点P在C上，$\angle F_{1}PF_{2}=60^{\circ}$，则$\triangle F_{1}PF_{2}$的面积为________.
[课堂笔记]
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答案： $2\sqrt{3}$

【巩固迁移】
2. (2023·河北邯郸模拟)已知$F_{1}$，$F_{2}$是双曲线$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b＞0)$的左、右焦点，点P为双曲线右支上一点，且P在以$F_{1}F_{2}$为直径的圆上，若$|PF_{1}|\cdot|PF_{2}| = 12$，则$\tan\angle POF_{2}=$ （ ）
A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{4}{3}$
C. $\frac{3}{5}$
D. $\frac{4}{5}$

答案： A

例3　(2024·江西南昌外国语学校月考)已知$F_{1}$是双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的左焦点，$A(4,4)$，P是双曲线右支上的动点，则$|PF_{1}|+|PA|$的最小值为________.
[课堂笔记]
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【通性通法】
在利用双曲线的定义求最值时，如果所求的式子不易直接求最值，那么可以先利用关系式$|PF_{1}| = 2a+|PF_{2}|$或$|PF_{2}| = 2a+|PF_{1}|$进行转化，然后利用三角形三边的关系来求最值.

答案： $8+\sqrt{17}$

【巩固迁移】
3. 若点P在曲线$C_{1}:\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$上，点Q在曲线$C_{2}:(x - 5)^{2}+y^{2}=1$上，点R在曲线$C_{3}:(x + 5)^{2}+y^{2}=1$上，则$|PQ|-|PR|$的最大值是 （ ）
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12

答案： B