《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

5.(2023·河北示范性高中调研)已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$a_{2}=6,a_{n + 1}=2(S_{n}+1)$.
　(1)证明$\{ a_{n}\}$为等比数列，并求$\{ a_{n}\}$的通项公式;
　(2)求数列$\{ na_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$.

答案： 解
(1)因为$a_{n + 1}=2(S_{n}+1)$，
所以$a_{n}=2(S_{n - 1}+1)(n\geqslant2)$，
故$a_{n + 1}-a_{n}=2(S_{n}-S_{n - 1})=2a_{n}$，即$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=3(n\geqslant2)$，
又$a_{2}=2(S_{1}+1)=2a_{1}+2$，故$a_{1}=2$，即$\frac{a_{2}}{a_{1}}=3$，
因此$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=3(n\in N^{*})$．
故$\{ a_{n}\}$是以$2$为首项，$3$为公比的等比数列．
因此$a_{n}=2\times3^{n - 1}(n\in N^{*})$．
(2)因为$T_{n}=2\times1+2\times2\times3+2\times3\times3^{2}+\cdots+2n\times3^{n - 1}$， ①
故$3T_{n}=2\times1\times3+2\times2\times3^{2}+\cdots+2(n - 1)\times3^{n - 1}+2n\times3^{n}$，②
① - ②，得$-2T_{n}=2+(2\times3+2\times3^{2}+\cdots+2\times3^{n - 1})-2n\times3^{n}=2+\frac{2\times3(3^{n - 1}-1)}{3 - 1}-2n\times3^{n}=-1+(1 - 2n)\times3^{n}$，
即$T_{n}=\frac{(2n - 1)\times3^{n}+1}{2}$．

例5　　已知数列$\{ a_{n}\},\{ b_{n}\}$满足$a_{1}=\frac{1}{18},2a_{n + 1}-a_{n}=16a_{n + 1}a_{n},b_{n}=\frac{1}{a_{n}}-16$.
　(1)证明$\{ b_{n}\}$为等比数列，并求$\{ b_{n}\}$的通项公式;
　(2)求$a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+\cdots+a_{7}b_{7}$.

答案： 解
(1)由$2a_{n + 1}-a_{n}=16a_{n + 1}a_{n}$，可得$\frac{1}{a_{n + 1}}=\frac{2}{a_{n}}-16$，
于是$\frac{1}{a_{n + 1}}-16=2(\frac{1}{a_{n}}-16)$，即$b_{n + 1}=2b_{n}$，
而$b_{1}=\frac{1}{a_{1}}-16=2$，
所以$\{ b_{n}\}$是首项为$2$，公比为$2$的等比数列．
所以$b_{n}=2\times2^{n - 1}=2^{n}$．
(2)由
(1)知$a_{n}=\frac{1}{2^{n}+16}$，所以$a_{k}b_{k}=\frac{2^{k}}{2^{k}+16}$．
因为$a_{k}b_{k}+a_{8 - k}b_{8 - k}=\frac{2^{k}}{2^{k}+16}+\frac{2^{8 - k}}{2^{8 - k}+16}=\frac{2^{k - 4}}{2^{k - 4}+1}+\frac{1}{1 + 2^{k - 4}}=1$，
所以$2(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+\cdots+a_{7}b_{7})=(a_{1}b_{1}+a_{7}b_{7})+(a_{2}b_{2}+a_{6}b_{6})+\cdots+(a_{7}b_{7}+a_{1}b_{1})=7$，
因此$a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+\cdots+a_{7}b_{7}=\frac{7}{2}$．

6. 已知函数$f(x)$对任意的$x\in R$，都有$f(x)+f(1 - x)=1$，数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n}=f(0)+f(\frac{1}{n})+f(\frac{2}{n})+\cdots+f(\frac{n - 1}{n})+f(1)$，则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为________.

答案： 答案 $a_{n}=\frac{n + 1}{2}$
解析 $\because f(x)+f(1 - x)=1$，$\therefore f(\frac{1}{n})+f(\frac{n - 1}{n})=1$，又$a_{n}=f(0)+f(\frac{1}{n})+f(\frac{2}{n})+\cdots+f(\frac{n - 1}{n})+f(1)$ ①，$\therefore a_{n}=f(1)+f(\frac{n - 1}{n})+f(\frac{n - 2}{n})+\cdots+f(\frac{1}{n})+f(0)$ ②，① + ②，
得$2a_{n}=n + 1$，$\therefore a_{n}=\frac{n + 1}{2}$．$\therefore$数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=\frac{n + 1}{2}$．