《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

【巩固迁移】
6.(2024·广东深圳高三模拟)对于任意$x\in[-2,3]$,不等式$x^{2} - a|x| + 1 ＞ 0$恒成立，则实数$a$的取值范围为________.

答案： 答案 $(-\infty,2)$
解析 若$x = 0$，则易知$a\in\mathbf{R}$；若$x\in[-2,0)\cup(0,3]$，当$a = 0$时，不等式$x^{2}+1 ＞ 0$恒成立，当$a\neq 0$时，不等式可变形为$a ＜ \dfrac{x^{2}+1}{|x|}$，$0 ＜ |x|\leqslant 3$，设$t = |x|$，$t\in(0,3]$，则$y = \dfrac{x^{2}+1}{|x|}=\dfrac{t^{2}+1}{t}=t+\dfrac{1}{t}$，由对勾函数的性质，知该函数在$(0,1]$上单调递减，在$[1,3]$上单调递增，$\therefore$当$t = 1$时，$y = t+\dfrac{1}{t}$取得最小值$2$，$\therefore a ＜ 2$. 故实数$a$的取值范围是$(-\infty,2)$.

考向3　给定参数范围的恒成立问题
例7　若不等式$x^{2} + px ＞ 4x + p - 3$,当$0\leqslant p\leqslant 4$时恒成立，则$x$的取值范围是 （ ）
A. $[-1,3]$
B. $(-\infty,-1]$
C. $[3,+\infty)$
D. $(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$
[课堂笔记]
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答案： D　[不等式$x^{2}+px ＞ 4x + p - 3$可化为$(x - 1)p+x^{2}-4x + 3 ＞ 0$，则$[(x - 1)p+x^{2}-4x + 3]_{\min} ＞ 0(0\leqslant p\leqslant 4)$，令$f(p)=(x - 1)p+x^{2}-4x + 3(0\leqslant p\leqslant 4)$，则$\begin{cases}f(0)=x^{2}-4x + 3 ＞ 0,\\f(4)=4(x - 1)+x^{2}-4x + 3 ＞ 0,\end{cases}$解得$x ＜ - 1$或$x ＞ 3$.]

【巩固迁移】
7.(2023·湖北部分重点高中高三联考)若命题“$\exists a\in[-1,3],ax^{2} - (2a - 1)x + 3 - a ＜ 0$”为假命题，则$x$的取值范围为________.

答案： 答案 $[-1,0]\cup\left[\dfrac{5}{3},4\right]$
解析 由题意知“$\forall a\in[-1,3]$，$ax^{2}-2(2a - 1)x + 3 - a\geqslant 0$”为真命题. 令$g(a)=ax^{2}-2ax + x + 3 - a=(x^{2}-2x - 1)a+x + 3\geqslant 0$，则$\begin{cases}g(-1)\geqslant 0,\\g(3)\geqslant 0,\end{cases}$即$\begin{cases}-x^{2}+3x + 4\geqslant 0,\\3x^{2}-5x\geqslant 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}-1\leqslant x\leqslant 4,\\x\geqslant\dfrac{5}{3}或x\leqslant 0,\end{cases}$所以$x$的取值范围为$[-1,0]\cup\left[\dfrac{5}{3},4\right]$.

考向4　不等式能成立或有解问题
例8　　已知关于$x$的不等式$mx^{2} - 6x + 3m ＜ 0$在$(0,2]$上有解，则实数$m$的取值范围是 （ ）
A. $(-\infty,\sqrt{3})$ B. $(-\infty,\frac{12}{7})$
C. $(\sqrt{3},+\infty)$ D. $(\frac{12}{7},+\infty)$
[课堂笔记]　______________________________

答案： A　[问题转化为$m ＜ \dfrac{6x}{x^{2}+3}$在$(0,2]$上有解，设$g(x)=\dfrac{6x}{x^{2}+3}$，则$g(x)=\dfrac{6x}{x^{2}+3}=\dfrac{6}{x+\dfrac{3}{x}}$，$x\in(0,2]$，又$x+\dfrac{3}{x}\geqslant 2\sqrt{3}$，当且仅当$x = \sqrt{3}$时取等号，则$g(x)_{\max}=\dfrac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}$，故$m ＜ \sqrt{3}$. 故选A.]

【巩固迁移】
8.若存在$x\in[-2,2],x^{2} + mx + 3 - m\leqslant 0$有解，则实数$m$的取值范围为________.

答案： 答案 $(-\infty,-7]\cup[2,+\infty)$
解析 因为$f(x)=x^{2}+mx + 3 - m$的图象开口向上，对称轴为直线$x = -\dfrac{m}{2}$，①当$-\dfrac{m}{2}\leqslant - 2$，即$m\geqslant 4$时，$f(x)_{\min}=f(-2)=4 - 2m+3 - m\leqslant 0$，即$m\geqslant\dfrac{7}{3}$，$\therefore m\geqslant 4$；②当$-2 ＜ -\dfrac{m}{2} ＜ 2$，即$-4 ＜ m ＜ 4$时，$f(x)_{\min}=f\left(-\dfrac{m}{2}\right)=-\dfrac{m^{2}}{4}+3 - m\leqslant 0$，解得$m\geqslant 2$或$m\leqslant - 6$，$\therefore 2\leqslant m ＜ 4$；③当$-\dfrac{m}{2}\geqslant 2$，即$m\leqslant - 4$时，$f(x)_{\min}=f(2)=4 + 2m+3 - m\leqslant 0$，解得$m\leqslant - 7$. 综上，$m\geqslant 2$或$m\leqslant - 7$.

例1 (1)若关于x的方程$x^2 - (m - 1)x + 2 - m = 0$的两根为正数，则实数m的取值范围是_______。
(2)(2024·湖北武汉华师第一附中模拟)若关于x的方程$ax^2 + (a + 2)x + 9a = 0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$，且$x_1 ＜ 1 ＜ x_2$，那么实数a的取值范围是_______。

答案：
(1)答案 [-1 + 2√2,2)
解析 设f(x)=x²-(m - 1)x + 2 - m，
则{Δ=(m - 1)² - 4(2 - m)≥0,
(m - 1)/2＞0,
f
(0)=2 - m＞0,
解得-1 + 2√2≤m＜2.
(2)答案 (-2/11,0)
解析 由于方程ax²+(a + 2)x + 9a = 0有两个不相等的实数根，故a≠0，则ax²+(a + 2)x + 9a = 0可化为x²+(1 + 2/a)x + 9 = 0，令f(x)=x²+(1 + 2/a)x + 9，则f
(1)=1+(1 + 2/a)×1 + 9＜0，解得-2/11＜a＜0.

对点训练
1.(2023·黑龙江哈尔滨六中模拟)关于x的方程$x^2 + (m - 2)x + 6 - m = 0$的两根都大于2，则实数m的取值范围是_______。

答案： 答案 (-6,-2√5]
解析 令f(x)=x²+(m - 2)x + 6 - m，
则{Δ=(m - 2)² - 4(6 - m)≥0,
-(m - 2)/2＞2,
f
(2)=4 + 2(m - 2)+6 - m＞0,
即{m≥2√5或m≤-2√5,
m＜-2,
m＞-6,
解得-6＜m≤-2√5.

2.已知二次方程$(2m + 1)x^2 - 2mx + (m - 1) = 0$有一正根和一负根，则实数m的取值范围是_______。

答案： 答案 (-1/2,1)
解析 解法一：显然2m + 1≠0，令f(x)=x² - 2m/(2m + 1)x+(m - 1)/(2m + 1)，则f
(0)＜0，即(m - 1)/(2m + 1)＜0，所以(2m + 1)(m - 1)＜0，解得-1/2＜m＜1.
解法二：设x₁,x₂是方程(2m + 1)x² - 2mx+(m - 1)=0的两个根，则x₁x₂=(m - 1)/(2m + 1)＜0，解得-1/2＜m＜1.

例2 已知关于x的二次方程$x^2 + 2mx + 2m + 1 = 0$。若方程有两根，其中一根在区间($-1,0$)内，另一根在区间($1,2$)内，则实数m的取值范围为_______；若方程两根均在区间($0,1$)内，则实数m的取值范围为_______。

答案：
答案 (-5/6,-1/2) (-1/2,1 - √2]
解析 设函数f(x)=x²+2mx + 2m + 1，则其图象与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内，画出示意图如图1，由题意，得
{f
(0)=2m + 1＜0,
f(-1)=2＞0,
f
(1)=4m + 2＜0,
f
(2)=6m + 5＞0,
即{m＜-1/2,
m∈R,
m＜-1/2,
m＞-5/6,
解得-5/6＜m＜-1/2.
由题意知函数f(x)=x²+2mx + 2m + 1的图象与x轴的交点落在区间(0,1)内，画出示意图如图2，由题意，得
{f
(0)=2m + 1＞0,
f
(1)=4m + 2＞0,
Δ=4m² - 4(2m + 1)≥0,
0＜-m＜1,
即{m＞-1/2,
m＞-1/2,
m≥1 + √2或m≤1 - √2,
-1＜m＜0,
解得-1/2＜m≤1 - √2.

对点训练
3.已知方程$x^2 - (2a + 1)x + a(a + 1) = 0$的两根分别在区间($0,1$)，($1,3$)内，则实数a的取值范围为_______。

答案： 答案 (0,1)
解析 解法一：设f(x)=x²-(2a + 1)x + a(a + 1)，则{f
(0)＞0,
f
(1)＜0,
f
(3)＞0,
即{a(a + 1)＞0,
-2a + a(a + 1)＜0,
9 - 3(2a + 1)+a(a + 1)＞0,
解得{a＞0或a＜-1,
0＜a＜1,
a＞3或a＜2,
所以0＜a＜1.
解法二：由x²-(2a + 1)x + a(a + 1)=0，得(x - a)[x-(a + 1)]=0，所以方程两根为x₁=a，x₂=a + 1，则{0＜a＜1,
1＜a + 1＜3,
解得0＜a＜1.

4.已知关于x的方程$ax^2 + x + 2 = 0$的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是_______。

答案： 答案 (-3,0)
解析 显然a≠0，则方程ax²+x + 2 = 0可化为x²+x/a+2/a = 0，设f(x)=x²+x/a+2/a，则{f
(0)＜0,
f
(1)＜0,
即{2/a＜0,
1 + 1/a+2/a＜0,
解得-3＜a＜0，所以实数a的取值范围是(-3,0).

例3 (2023·河北石家庄藁城一中模拟)设函数$f(x)=-\frac{3}{2}\cos2x + a\sin x + a + \frac{9}{2}$，若方程$f(x)=0$在($0,\pi$)上有4个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_______。

答案： 答案 (-3,6 - 6√2)
解析 f(x)=-3/2(1 - 2sin²x)+asin x + a + 9/2 = 3sin²x+asin x + a + 3，x∈(0,π)，令sin x = t，t∈(0,1]，h(t)=3t²+at + a + 3，当0＜t＜1时，sin x = t有两个不相等的实数根，当t = 1时，sin x = t有且仅有一个实数根，因为方程f(x)=0在(0,π)上有4个不相等的实数根，所以原问题等价于h(t)=3t²+at + a + 3 = 0在区间(0,1)上有两个不相等的实数根，所以
{0＜-a/6＜1,
Δ=a² - 12(a + 3)＞0,
h
(0)=a + 3＞0,
h
(1)=2a + 6＞0,
解得-3＜a＜6 - 6√2.

对点训练
5.(2024·黑龙江哈尔滨南岗实验中学模拟)设函数$f(x)=\begin{cases}3^x + 1,x\leqslant0,\\|\log_4x|,x＞0,\end{cases}$若关于x的函数$g(x)=[f(x)]^2 - (a + 2)f(x) + 3$恰好有六个零点，则实数a的取值范围是_______。

答案：
＜(a + 2)/2＜2,
g
(1)=2 - a＞0,
g
(2)=3 - 2a≥0,
解得2√3 - 2＜a≤3/2，故实数a的取值范围为(2√3 - 2,3/2].