《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

1. 概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）如果函数$f(x)$在某个区间内恒有$f'(x)=0$，则$f(x)$在此区间内没有单调性。 （ ）
（2）在$(a,b)$内$f'(x)\leqslant0$且$f'(x)=0$的根有有限个，则$f(x)$在$(a,b)$内单调递减。 （ ）
（3）若函数$f(x)$在定义域上恒有$f'(x)＞0$，则$f(x)$在定义域上一定单调递增。 （ ）

答案：
(1)√
(2)√
(3)×

2. 小题热身
（1）（多选）（人教A选择性必修第二册5.3.1例2改编）如图是函数$y = f(x)$的
导函数$y = f'(x)$的图象，则下列判断正确的是（ ）
A. 在区间$(-2,1)$上$f(x)$单调递增
B. 在区间$(2,3)$上$f(x)$单调递减
C. 在区间$(4,5)$上$f(x)$单调递增
D. 在区间$(3,5)$上$f(x)$单调递减

答案：
(1)BC

（2）函数$f(x)=x\text{e}^{-x}$的一个单调递增区间是（ ）
A. $(-\infty,1)$
B. $(2,8)$
C. $(1,2)$
D. $(0,2)$

答案：
(2)A [由$f(x)=\frac{x}{e^{x}}$，得$f^{\prime}(x)=\frac{1 - x}{e^{x}}$，由$f^{\prime}(x)＞0$，得$x＜1$，所以$f(x)$在$(-\infty,1)$上为增函数. 故选 A.]

（3）（人教A选择性必修第二册5.3.1例1改编）函数$f(x)=\cos x - x$在$(0,\pi)$上的单调性是（ ）
A. 先增后减
B. 先减后增
C. 增函数
D. 减函数

答案：
(3)D [
∵当$x\in(0,\pi)$时，$f^{\prime}(x)=-\sin x - 1＜0$，
∴$f(x)$在$(0,\pi)$上是减函数. 故选 D.]

例1　　求函数$f(x)=\mathrm{e}^{2x}-\mathrm{e}(2x + 1)$的单调区间.

[课堂笔记]
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答案：
解 $f^{\prime}(x)=2e^{2x}-2e = 2e(e^{2x - 1}-1)$，
令 $f^{\prime}(x)=0$，解得 $x=\frac{1}{2}$，
$x,f^{\prime}(x),f(x)$的变化如下：

所以 $f(x)$的单调递减区间是 $(-\infty,\frac{1}{2})$，单调递增区间是 $(\frac{1}{2},+\infty)$。

1.(2023·湖南长沙模拟)已知函数$f(x)=2\mathrm{e}^{x}\sin x$（$\mathrm{e}$是自然对数的底数），讨论$f(x)$的单调性.

答案： 解 $f^{\prime}(x)=2e^{x}(\sin x+\cos x)=2\sqrt{2}e^{x}\sin(x + \frac{\pi}{4})$，
由 $f^{\prime}(x)＜0$，解得 $2k\pi+\frac{3\pi}{4}＜x＜2k\pi+\frac{7\pi}{4}(k\in\mathbf{Z})$，
由 $f^{\prime}(x)＞0$，解得 $2k\pi-\frac{\pi}{4}＜x＜2k\pi+\frac{3\pi}{4}(k\in\mathbf{Z})$，
故 $f(x)$在 $(2k\pi-\frac{\pi}{4},2k\pi+\frac{3\pi}{4})(k\in\mathbf{Z})$上单调递增，在 $(2k\pi+\frac{3\pi}{4},2k\pi+\frac{7\pi}{4})(k\in\mathbf{Z})$上单调递减。