《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

5. (2023·湖南株洲模拟)数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，$a_{n + 1}=\frac{2a_{n}}{a_{n}+2}(n\in N^{*})$，则$\frac{2}{101}$是这个数列的第（ ）
A. 100项
B. 101项
C. 102项
D. 103项

答案： A

6. (2024·浙江诸暨中学质检)已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$a_{n + 1}=3a_{n}+2(n\in N^{*})$，则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为________.

答案： $a_{n}=2\cdot3^{n - 1}-1$

7. 已知在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=\frac{5}{6}$，$a_{n + 1}=\frac{1}{3}a_{n}+(\frac{1}{2})^{n + 1}$，则$a_{n}=$________.

答案： $\frac{3}{2^{n}}-\frac{2}{3^{n}}$

考向1　数列的周期性
例6　　(2024·哈尔滨质检)已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项积为$T_{n}$，$a_{1}=2$且$a_{n + 1}=1-\frac{1}{a_{n}}$，则$T_{2024}=$________.
[课堂笔记]　______________________________
[通性通法]
解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前$n$项和.

答案： 1

8. (2024·江西临川一中高三质检)无穷数列$\{ a_{n}\}$满足：只要$a_{p}=a_{q}(p,q\in N^{*})$，必有$a_{p + 1}=a_{q + 1}$，则称$\{ a_{n}\}$为“和谐递进数列”. 若$\{ a_{n}\}$为“和谐递进数列”，$S_{n}$为其前$n$项和，且$a_{1}=1$，$a_{2}=2$，$a_{4}=1$，$a_{6}+a_{8}=6$，则$a_{7}=$________，$S_{2023}=$________.

答案： 1 4719

考向2　数列的单调性
例7　　已知数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=n^{2}-2\lambda n(n\in N^{*})$，则“$\lambda\lt1$”是“数列$\{ a_{n}\}$为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
[课堂笔记]　　______________________________
[通性通法]
　　　解决数列的单调性问题的常用方法
　作差比较法　根据$a_{n + 1}-a_{n}$的符号判断数列$\{ a_{n}\}$是递增数列、递减数列还是常数列
　作商比较法　根据$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}(a_{n}\gt0$或$a_{n}\lt0)$与$1$的大小关系进行判断
　目标函数法　写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去

答案： A

9. (2024·湖北宜昌阶段考试)数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=(n + 1)(\frac{9}{10})^{n}(n\in N^{*})$，则该数列（ ）
A. 递增
B. 递减
C. 先递增后递减
D. 先递减后递增

答案： C