《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

2. 小题热身
　(1)在数列$\sqrt{1}$,$\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$,2,$\sqrt{5}$,...中，第9个数是(　　　)
　A. 3$\sqrt{3}$　　　　　　　　B. 3
　C. $\sqrt{10}$　　　　　　　　D. 10

答案：
(1)B [观察题目中的数列可知，根号里面的数是公差为1的等差数列，即$\sqrt{n}$，第9个数为$\sqrt{9}=3$. 故选B.]

(2)(多选)已知数列的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项公式可能是　　　　(　　　)
　

答案：
(2)ABD [对$n = 1,2,3,4$进行验证，$a_{n}=2\sin\frac{n\pi}{2}$不符合题意，其他都可能. 故选ABD.]

(3)(人教A选择性必修第二册4.1练习T3改编)在数列= 1 + $\frac{1}{aₙ}$,则a₅ = ________.

答案：
(3)答案 $\frac{8}{5}$
解析 由题意，令$n = 1$，可得$a_{2}=1+\frac{1}{a_{1}}=2$；令$n = 2$，可得$a_{3}=1+\frac{1}{a_{2}}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$；令$n = 3$，可得$a_{4}=1+\frac{1}{a_{3}}=1+\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{5}{3}$；令$n = 4$，可得$a_{5}=1+\frac{1}{a_{4}}=1+\frac{1}{\frac{5}{3}}=\frac{8}{5}$.

(4)(人教A选择性必修第二册4.1练习T1改编)下列从左到右排列的图形中,小正方形个数构成的数列的一个通项公式为 = ________.

答案：
(4)答案 $n^{2}$
解析 由题图可知，从中间一行向上、向下每经过一行，小正方形的数量减少1，直至减少到1，所以$a_{n}=n + 2(n - 1)+2(n - 2)+\cdots+2\times1$，所以$a_{n}=n + 2\cdot\frac{[1+(n - 1)](n - 1)}{2}=n^{2}$.

考向1　已知$S_{n}$求$a_{n}$
例1　　(2023·山西大学附中三模)已知数列$\{ a_{n}\}$满足条件$\frac{1}{2}a_{1}+\frac{1}{2^{2}}a_{2}+\frac{1}{2^{3}}a_{3}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}a_{n}=2n + 5$，则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为________.
[课堂笔记]　______________________________

答案： $a_{n}=\begin{cases}14,n = 1,\\2^{n + 1},n\geqslant2\end{cases}$

1. 已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}=n^{2}+1$，则$a_{n}=$________.

答案： $\begin{cases}2,n = 1,\\2n - 1,n\geqslant2,n\in\mathbf{N}^{*}\end{cases}$

考向2　已知$a_{n}$与$S_{n}$的关系求$a_{n}$
例2　　已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$.若$a_{1}=2$，$a_{n + 1}=S_{n}$，则$a_{100}=$（ ）
A. $2^{97}$ B. $2^{98}$ C. $2^{99}$ D. $2^{100}$
[课堂笔记]　______________________________

答案： C

2. (2024·广东中山一中阶段考试)设$S_{n}$是数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和，已知$a_{1}=1$，$a_{n}=-S_{n}\cdot S_{n - 1}(n\geq2)$，则$S_{n}=$________，$a_{n}=$________.

答案： $\begin{cases}1,n = 1,\\-\frac{1}{n(n - 1)},n\geqslant2\end{cases}$