《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

【巩固迁移】
3.已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________.

答案： [巩固迁移] 3. 答案 (3，3)
解析 解法一：由O，P，B三点共线，可设$\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OB}=(4\lambda，4\lambda)$，则$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=(4\lambda - 4，4\lambda)$. 又$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(- 2，6)$，由$\overrightarrow{AP}$与$\overrightarrow{AC}$共线，得(4$\lambda$ - 4)×6 - 4$\lambda$×(- 2) = 0，解得$\lambda=\frac{3}{4}$，所以$\overrightarrow{OP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{OB}=(3，3)$，所以点P的坐标为(3，3).
解法二：设点P(x，y)，则$\overrightarrow{OP}=(x，y)$，因为$\overrightarrow{OB}=(4，4)$且$\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{OB}$共线，所以$\frac{x}{4}=\frac{y}{4}$，即x = y. 又$\overrightarrow{AP}=(x - 4，y)$，$\overrightarrow{AC}=(- 2，6)$，且$\overrightarrow{AP}$与$\overrightarrow{AC}$共线，所以(x - 4)×6 - y×(- 2) = 0，解得x = y = 3，所以点P的坐标为(3，3).

例4 已知$\overrightarrow{AB}=(6,1)$，$\overrightarrow{BC}=(x,y)$，$\overrightarrow{CD}=( - 2, - 3)$，$\overrightarrow{BC}//\overrightarrow{DA}$，则$x + 2y$的值为（ ）
A. - 1
B.0
C.1
D.2

答案： 例4 B [因为$\overrightarrow{AB}=(6，1)$，$\overrightarrow{BC}=(x，y)$，$\overrightarrow{CD}=(- 2， - 3)$，所以$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=(4 + x，y - 2)$，所以$\overrightarrow{DA}=(- x - 4，2 - y)$，因为$\overrightarrow{BC}//\overrightarrow{DA}$，所以x(2 - y) = y(- x - 4)，所以2x + 4y = 0，即x + 2y = 0. 故选B.]

【巩固迁移】
4.(2023·四川成都三模)设向量$a=(1,x - 1)$，$b=(x + 1,3)$，则“$a$与$b$共线”的充要条件是（ ）
A.$x = \pm2$
B.$x = 2$
C.$x = - 2$
D.$x = \frac{1}{2}$

答案： [巩固迁移] 4. A [因为a//b，a = (1，x - 1)，b = (x + 1，3)，所以(x + 1)(x - 1) = 3，所以x = ±2. 故选A.]

例5 如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若 $\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AM}+\mu\overrightarrow{BN}$，则$\lambda + \mu$=________.

答案： 例5 答案 $\frac{8}{5}$
解析 解法一：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则$\overrightarrow{AM}=(1，\frac{1}{2})$，$\overrightarrow{BN}=(-\frac{1}{2}，1)$，$\overrightarrow{AC}=(1，1)$，
∵$\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AM}+\mu\overrightarrow{BN}=(\lambda-\frac{1}{2}\mu，\frac{\lambda}{2}+\mu)$，
∴$\begin{cases}\lambda-\frac{1}{2}\mu = 1\\\frac{\lambda}{2}+\mu = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}\lambda=\frac{6}{5}\\\mu=\frac{2}{5}\end{cases}$，
∴$\lambda+\mu=\frac{8}{5}$.
解法二：由$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，得$\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AM}+\mu\overrightarrow{BN}=(\lambda-\frac{\mu}{2})\overrightarrow{AB}+(\frac{\lambda}{2}+\mu)\overrightarrow{AD}$，又$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，
∴$\begin{cases}\lambda-\frac{\mu}{2}=1\\\frac{\lambda}{2}+\mu = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}\lambda=\frac{6}{5}\\\mu=\frac{2}{5}\end{cases}$，
∴$\lambda+\mu=\frac{8}{5}$.

【巩固迁移】
5.(2024·广西宾阳中学阶段练习)已知直角坐标平面内有不共线的三点A(1,1)，B(2,1)，D(4,5).
(1)求以线段AB，AD为邻边的平行四边形ABCD两条对角线AC，BD的长；
(2)设点P满足$\overrightarrow{AP}=(3,3)$，试判断点P是在△ABD的BD边上，还是在△ABD的外部?请说明理由.

答案： [巩固迁移] 5. 解
(1)
∵A(1，1)，B(2，1)，D(4，5)，
∴$\overrightarrow{AB}=(1，0)$，$\overrightarrow{AD}=(3，4)$，$\overrightarrow{BD}=(2，4)$，
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(1，0)+(3，4)=(4，4)$，
∴AC = |$\overrightarrow{AC}$| = $\sqrt{4^{2}+4^{2}} = 4\sqrt{2}$，
BD = $\sqrt{2^{2}+4^{2}} = 2\sqrt{5}$.
(2)
∵BD的中点为E(3，3)，A(1，1)，
∴$\overrightarrow{AE}=(2，2)$，
又$\overrightarrow{AP}=(3，3)$，
∴$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AE}$，
由$\frac{3}{2}＞1$知点P在AE的延长线上，
∴点P不是在△ABD的BD边上，而是在△ABD的外部.