《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

（3）（人教B必修第三册7.3.2练习B T1改编）为了得到$y = 3\cos(3x+\frac{\pi}{8})$的图象，只需把$y = 3\cos(x+\frac{\pi}{8})$图象上的所有点的（ ）
A. 纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变
B. 横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
C. 纵坐标缩短到原来的$\frac{1}{3}$，横坐标不变
D. 横坐标缩短到原来的$\frac{1}{3}$，纵坐标不变

答案：
(3)D [因为变换前后,两个函数的初相相同,所以只需把$y = 3\cos(x+\frac{\pi}{8})$图象上的所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的$\frac{1}{3}$,即可得到函数$y = 3\cos(3x+\frac{\pi}{8})$的图象. 故选 D.]

（4）（人教A必修第一册5.7例1改编）如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数$y = A\sin(\omega x+\varphi)+B,A ＞ 0,\omega＞0,0＜\varphi＜\pi$，则这段曲线的函数解析式为________.
　　　　　　　　　　　　

答案：
(4)答案 $y = 5\sin(\frac{\pi}{8}x+\frac{3\pi}{4})+10,x\in[6,14]$
解析 从题图中可以看出,从 6～14 时的图象是函数$y = A\sin(\omega x+\varphi)+B$的半个周期,则$\begin{cases}A + B = 15,\\-A + B = 5,\end{cases}$所以$A=\frac{1}{2}\times(15 - 5)=5,B=\frac{1}{2}\times(15 + 5)=10$. 又$\frac{1}{2}\times\frac{2\pi}{\omega}=14 - 6$,所以$\omega=\frac{\pi}{8}$. 又$\frac{\pi}{8}\times10+\varphi=2\pi+2k\pi,k\in\mathbf{Z},0＜\varphi＜\pi$,所以$\varphi=\frac{3\pi}{4}$,所以$y = 5\sin(\frac{\pi}{8}x+\frac{3\pi}{4})+10,x\in[6,14]$.

例1　（1）将函数$f(x)=\cos(3x+\frac{\pi}{6})$的图象向左平移$\frac{\pi}{2}$个单位长度，得到的图象的函数解析式为（ ）
A. $y = -\sin(3x+\frac{\pi}{6})$
B. $y = \cos(3x+\frac{\pi}{2})$
C. $y = -\cos(3x+\frac{\pi}{6})$
D. $y = \sin(3x+\frac{\pi}{6})$

答案： D[由题意知,将函数$f(x)=\cos(3x + \frac{\pi}{6})$的图象向左平移$\frac{\pi}{2}$个单位长度,得$g(x)=\cos[3(x + \frac{\pi}{2})+\frac{\pi}{6}]=\cos(3x+\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{6})=\cos[\pi+(3x+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6})]=-\cos(3x+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6})=\sin(3x+\frac{\pi}{6})$，所以函数解析式为$y = \sin(3x+\frac{\pi}{6})$。故选D。]

（2）已知函数$f(x)=\sin(\omega x+\varphi)(\omega＞0,0＜\varphi＜\frac{\pi}{2})$的图象经过点$B(-\frac{\pi}{6},0)$，且$f(x)$的相邻两个零点的距离为$\frac{\pi}{2}$，为得到$y = f(x)$的图象，可将$y = \sin x$图象上的所有点（ ）
A. 先向右平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变
B. 先向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变
C. 先向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变
D. 先向右平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变

答案： B[因为相邻两个零点的距离为$\frac{\pi}{2}$，所以函数$f(x)$的最小正周期$T = 2\times\frac{\pi}{2}=\pi$，则$\omega=\frac{2\pi}{T}=2$，又点$B(-\frac{\pi}{6},0)$在函数图象上，所以$\sin[2\times(-\frac{\pi}{6})+\varphi]=0$，解得$-\frac{\pi}{3}+\varphi = k\pi,k\in\mathbf{Z}$，即$\varphi=\frac{\pi}{3}+k\pi,k\in\mathbf{Z}$，又$0\lt\varphi\lt\frac{\pi}{2}$，所以当$k = 0$时，$\varphi=\frac{\pi}{3}$，所以$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$，则将$y = \sin x$的图象先向左平移$\frac{\pi}{3}$个单位长度可得$y = \sin(x+\frac{\pi}{3})$的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到$y = f(x)$的图象。故选B。]

[巩固迁移]
1.（2023·武汉模拟）为了得到$y = \sin(\frac{x}{4}-\frac{\pi}{8})$的图象，只需将$y = \sin x$图象上的所有点的纵坐标不变（ ）
A. 所有点的横坐标变为原来的$\frac{1}{4}$，再向右平移$\frac{\pi}{8}$个单位长度
B. 所有点的横坐标变为原来的4倍，再向右平移$\frac{\pi}{8}$个单位长度
C. 先向右平移$\frac{\pi}{8}$个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的4倍
D. 先向右平移$\frac{\pi}{2}$个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的$\frac{1}{4}$

答案： C[$y = \sin x$图象上所有点的横坐标变为原来的4倍得到$y = \sin\frac{x}{4}$的图象，再向右平移$\frac{\pi}{2}$个单位长度得到$y = \sin(\frac{x}{4}-\frac{\pi}{8})$的图象，故A，B错误；$y = \sin x$的图象先向右平移$\frac{\pi}{8}$个单位长度得到$y = \sin(x - \frac{\pi}{8})$的图象，再将所有点的横坐标变为原来的4倍得到$y = \sin(\frac{x}{4}-\frac{\pi}{8})$的图象，故C正确，D错误。]