《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

【巩固迁移】
2. （2023·安徽蚌埠模拟）圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）. 当正午阳光照射在表上时，影子就会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至. 如图是根据蚌埠市（北纬32.92°）的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）约为33.65°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）约为80.51°. 圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即BD的长）为7米，则表高（即AC的长）约为（ ）
A. $\frac{cos80.51°}{7tan46.86°}$
B. $\frac{7tan46.86°}{sin33.65°}$
C. $\frac{7sin33.65°sin80.51°}{sin46.86°}$
D. $\frac{sin33.65°}{7sin80.51°}$

答案： C [由图可知∠BAD = ∠ADC - ∠ABC = 80.51° - 33.65° = 46.86°. 在△ABD中，$\frac{BD}{sin∠BAD}=\frac{AD}{sin∠ABC}$，得$AD=\frac{7sin33.65°}{sin46.86°}$. 在△ACD中，$AC = ADsin∠ADC=\frac{7sin33.65°sin80.51°}{sin46.86°}$. 故选C.]

考点三 测量角度问题
例3 已知在岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇. 岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛A北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？（参考数据：sin38°≈$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，sin22°≈$\frac{3\sqrt{3}}{14}$）
[课堂笔记]
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答案：
解 如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为x海里/小时，则BC = 0.5x，AC = 5，依题意，∠BAC = 180° - 38° - 22° = 120°，由余弦定理可得$BC² = AB² + AC² - 2AB·ACcos120°$，所以$BC² = 49$，所以$BC = 0.5x = 7$，解得$x = 14$.又由正弦定理得$sin∠ABC=\frac{ACsin∠BAC}{BC}=\frac{5×\frac{\sqrt{3}}{2}}{7}=\frac{5\sqrt{3}}{14}$，所以∠ABC = 38°，又∠BAD = 38°，所以BC//AD.故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.

【巩固迁移】
3. 如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD = 50 m，山坡对于地平面的坡角为θ，则cosθ = （ ）
A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
B. $\sqrt{6}-2$
C. $\sqrt{3}-1$
D. $\sqrt{2}-1$

答案： C [由题意知，∠CAD = 15°，∠CBD = 45°，所以∠ACB = 30°，∠ABC = 135°. 在△ABC中，由正弦定理，得$\frac{AB}{sin30°}=\frac{AC}{sin135°}$，又AB = 100 m，所以$AC = 100\sqrt{2} m$. 在△ADC中，∠ADC = 90° + θ，CD = 50 m，由正弦定理，得$\frac{AC}{sin(θ + 90°)}=\frac{CD}{sin15°}$，所以$cosθ = sin(θ + 90°)=\frac{ACsin15°}{CD}=\sqrt{3}-1$. 故选C.]