《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

例3　　(2024·黑龙江哈九中期末)如图,已知正三棱柱ABC−A'B'C'的底面边长为1cm,侧面积为9cm²,则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点A’的最短路线的长为________cm.

[课堂笔记]
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答案：
答案　3$\sqrt{2}$
解析　将正三棱柱ABC−A'B'C'沿侧棱展开，其侧面展开图如图所示，依题意，AB = BC = CA₁ = 1cm，由侧面积为9cm²，得C△ABC·AA' = 9，则AA' = 3cm，依题意，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点A'的最短路线的长为AA₁' = $\sqrt{AA_{1}^{2}+AA_{1}^{'2}}$ = $\sqrt{3^{2}+3^{2}}$ = 3$\sqrt{2}$cm.

3.(2024·贵州黔东南期末)如图1的平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形组成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图2的“正六面体”，则SS'=________.


　　　　　　　　　　　　　　

答案：
答案　$\frac{2\sqrt{6}}{3}$
解析　该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为1，如图，在棱长为1的正四面体S−ABC中，取BC的中点D，连接SD，AD，作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，则AD = SD = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，OD = $\frac{1}{3}$AD = $\frac{\sqrt{3}}{6}$，SO = $\sqrt{SD^{2}-OD^{2}}$ = $\frac{\sqrt{6}}{3}$，所以SS' = 2SO = $\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

例4　　(多选)如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体，下面图形可能是该几何体的截面的是　　　　　　　　　　　(　　　)


[课堂笔记]
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[通性通法]
作多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连接成截线，从而得到截面.

答案：
BCD　[对于A，由于截面中间是矩形，如果可能的话，一定是用和正方体底面平行的截面去剖开正方体并且是从挖去四棱锥的那部分剖开，但此时剖面中间应该是一个正方形，因此A图形不可能是该几何体的截面；对于B，当从正方体底面的一组相对棱的中点处剖开时，截面正好通过四棱锥顶点，如图1，此时截面形状如B图形，故B可能是该几何体的截面；对于C，当截面不经过底面一组相对棱的中点处，并和另一组棱平行去剖开正方体时，如图2中截面PDGH位置，截面形状如C图形，故C可能是该几何体的截面；
　　 　　 　　
对于D，如图3所示，按图中截面A₁B₁C₁的位置去剖开正方体，截面形状如D图形，故D可能是该几何体的截面．故选BCD.]

4.(2024·吉林长春五中阶段考试)圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是　　　　　　　　　　　　(　　　)

答案：
D [圆柱底面为正三棱锥底面三角形的外接圆，如图1所示，则过棱锥的一条侧棱和高作截面，棱锥顶点为圆柱上底面的中心，可得截面图如图2. 故选D.]
　　　　 　　　

例5　　(2024·江西萍乡期末)如图,平面四边形ABCD中,∠DAB = $\frac{\pi}{2}$，∠ADC = $\frac{3\pi}{4}$，AB = 5，CD = $\sqrt{2}$，AD = 2，则四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积为　　　　　　　　　　　　(　　　)

A. 56π + $\sqrt{2}$π
B. 56π + 2$\sqrt{2}$π
C. 55π + $\sqrt{2}$π
D. 55π + 2$\sqrt{2}$π
[课堂笔记]
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[通性通法]
空间几何体表面积的求法
(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.

答案：
C　[四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥，因为AB = 5，所以圆台下底面的面积S₁ = 25π，又因为CD = $\sqrt{2}$，∠ADC = $\frac{3\pi}{4}$，所以ED = EC = 1，BC = $\sqrt{(2 + 1)^{2}+(5 - 1)^{2}}$ = 5，所以圆台的侧面积S₂ = π(EC + AB)·BC = π(1 + 5)×5 = 30π. 圆锥的侧面积S₃ = $\frac{1}{2}$·2π·EC·CD = $\frac{1}{2}$×2π×1×$\sqrt{2}$ = $\sqrt{2}$π. 所以所求几何体的表面积为S = S₁ + S₂ + S₃ = 25π + 30π + $\sqrt{2}$π = 55π + $\sqrt{2}$π. 故选C.]