《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

3.某品牌汽车的月产量y(单位：万辆)与月份x($3 ＜ x\leqslant12$且$x\in N$)满足函数关系式$y = a\cdot(\frac{1}{2})^{x - 3}+b$，现已知该品牌汽车今年4月、5月的产量分别是1万辆和1.5万辆，则该品牌汽车7月的产量为_______万辆.

答案： 答案 1.875
解析 依题意有$\begin{cases}\frac{1}{2}a + b = 1,\\\frac{1}{4}a + b = 1.5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = - 2,\\b = 2,\end{cases}$于是得$y = - 2\times(\frac{1}{2})^{x - 3}+2，$当x = 7时，$y = - 2\times(\frac{1}{2})^{4}+2 = 1.875，$所以该品牌汽车7月的产量为1.875万辆.

例3　　(2024·湖南永州高三摸底)A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x km处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km. 已知供电费用等于供电距离(单位：km)的平方与供电量(单位：亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度.
(1)求x的取值范围；
(2)把月供电总费用y表示成x的函数；
(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？
[课堂笔记]　　______________________________
[通性通法]
二次函数的最值问题一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否则极易出错.

答案： 解
(1)由题意，知x的取值范围为[10，$90].(2)y = 0.25\times20\times x^{2}+0.25\times10\times(100 - x)^{2}=5x^{2}+\frac{5}{2}(100 - x)^{2}=\frac{15}{2}x^{2}-500x + 25000，$
∴$y=\frac{15}{2}x^{2}-500x + 25000(10\leqslant x\leqslant90).(3)y=\frac{15}{2}x^{2}-500x + 25000=\frac{15}{2}(x-\frac{100}{3})^{2}+\frac{50000}{3}，$
∴当$x=\frac{100}{3}$时，$y_{min}=\frac{50000}{3}.$
∴核电站建在距A城$\frac{100}{3}km$处，供电总费用最少.

4.(2023·河北张家口高三期末)江苏某新能源公司某年初购入一批新能源汽车充电桩，每台13500元，到第x年年末(x∈N)每台设备的累计维修保养费用为$(300x^{2}+3200x)$元，每台充电桩每年可给公司收益8000元.($\sqrt{19}\approx4.36$)
(1)求每台充电桩第几年年末开始获利；
(2)每台充电桩在第几年年末时，年平均利润最大?

答案：

4.解
(1)设每台充电桩在第工年年末的利润为f(x)元,

则f(x)=8000x-(300x²+3200x)-13500=-300x²+4800x-13500，

令 f(x)>0,解得8一√19<x<8+√19,

又√19≈4.36.

∴3. 64<x<12.36，

∵x∈N*,

∴每台充电桩从第4年年末开始获利。

(2)设g(x)为每台充电桩在第工年年末的年平均利润，

则g(x)=f(x)/x=-(300x+13500/x)+4800.

∵y=300x+13500/x在(0,3√5)上单调递减,在(3√5,+∞)上单调递增，

∴g(x)在(0,3√5)上单调递增,在(3√5,+∞0)上单调递减，

又x∈N*,3√5≈6.708,g
(6)=750,g
(7)≈771，

∴g
(7)>g
(6),

∴每台充电桩在第7年年末时,年平均利润最大.

例4　　牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛(允许的最大值)调整为200万个/毫升，牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3000个/毫升的牛奶常温放置于空气中，经过_______分钟就不宜再饮用.(精确到1分钟，参考数据：$\lg 2\approx0.301$，$\lg 3\approx0.477$)
[课堂笔记]　　______________________________
[通性通法]
(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示. 通常可以表示为$y = N(1 + p)^{x}$（其中N为基础数，p为增长率，x为时间）的形式. 求解时可利用指数运算与对数运算的关系.
(2)利用指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.

答案： 答案 188
解析 设经过x个周期后细菌含量超标，即$3000\times2^{x}＞2000000，$即$2^{x}＞\frac{2000}{3}，$所以$x＞\log_{2}\frac{2000}{3}=\frac{\lg2000-\lg3}{\lg2}=\frac{\lg2 + 3-\lg3}{\lg2}\approx9.4，$而$20\times9.4 = 188，$因此经过188分钟就不宜再饮用.