《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

1. 概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
(1) 若$\alpha,\beta$为锐角，则$\sin^2\alpha+\cos^2\beta = 1$. （ ）
(2) $\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$成立的条件是$\alpha$为锐角. （ ）
(3) 若$\cos(n\pi-\theta)=\frac{1}{3}(n\in \mathbf{Z})$，则$\cos\theta=\frac{1}{3}$. （ ）

答案：
(1)×
(2)×
(3)×

2. 小题热身
(1) 已知$\alpha$为锐角，且$\sin\alpha=\frac{4}{5}$，则$\cos(\pi+\alpha)=$（ ）
A. $-\frac{3}{5}$ B. $\frac{3}{5}$ C. $-\frac{4}{5}$ D. $\frac{4}{5}$

答案： A [因为$\alpha$为锐角，所以$\cos\alpha=\sqrt{1 - \sin^{2}\alpha}=\frac{3}{5}$，故$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha=-\frac{3}{5}$. 故选 A.]

(2) （人教 B 必修第三册 7.2.3 练习 B T2 改编）已知$\tan\alpha = 2$，则$\frac{3\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+2\cos\alpha}=$（ ）
A. $\frac{5}{4}$ B. $-\frac{5}{4}$ C. $\frac{5}{3}$ D. $-\frac{5}{3}$

答案： A [原式$=\frac{3\tan\alpha - 1}{\tan\alpha + 2}=\frac{3\times2 - 1}{2 + 2}=\frac{5}{4}$. 故选 A.]

(3) 下列三角函数的值中$(k\in \mathbf{Z})$，与$\sin\frac{\pi}{3}$的值相同的个数是（ ）
①$\sin(k\pi+\frac{4\pi}{3})$；②$\cos(2k\pi+\frac{\pi}{6})$；③$\sin(2k\pi+\frac{\pi}{3})$；④$\cos[(2k + 1)\pi-\frac{\pi}{6}]$；⑤$\sin[(2k + 1)\pi-\frac{\pi}{3}]$.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

答案： C [对于①，$\sin(k\pi+\frac{4\pi}{3})=\sin[(k + 1)\pi+\frac{\pi}{3}]$，当$k$为奇数时，$\sin[(k + 1)\pi+\frac{\pi}{3}]=\sin\frac{\pi}{3}$；当$k$为偶数时，$\sin[(k + 1)\pi+\frac{\pi}{3}]=-\sin\frac{\pi}{3}$，不满足题意. 对于②，$\cos(2k\pi+\frac{\pi}{6})=\cos\frac{\pi}{6}=\sin\frac{\pi}{3}$，满足题意. 对于③，$\sin(2k\pi+\frac{\pi}{3})=\sin\frac{\pi}{3}$，满足题意. 对于④，$\cos[(2k + 1)\pi-\frac{\pi}{6}]=\cos(\pi-\frac{\pi}{6})=-\cos\frac{\pi}{6}=-\sin\frac{\pi}{3}$，不满足题意. 对于⑤，$\sin[(2k + 1)\pi-\frac{\pi}{3}]=\sin(\pi-\frac{\pi}{3})=\sin\frac{\pi}{3}$，满足题意. 故选 C.]

(4) （人教 A 必修第一册习题 5.3 T5 改编）化简$\frac{\cos(\alpha-\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{5\pi}{2}+\alpha)}\cdot\cos(2\pi-\alpha)$的结果为____.

答案： 答案 $\sin\alpha$
解析 原式$=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\cos\alpha=\sin\alpha$.

例1 已知角α的终边在第三象限，且tanα = 2，则sinα - cosα = （ ）
A. -1 B. 1 C. -$\frac{\sqrt{5}}{5}$ D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
[课堂笔记] ______________________________

答案： 考点探究——提素养
例1 C [由角α的终边在第三象限，则sinα＜0，cosα＜0，由题设知$\begin{cases}\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2,\\\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1,\end{cases}$解得$\cos\alpha=-\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\sin\alpha=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$，所以$\sin\alpha-\cos\alpha=-\frac{2\sqrt{5}}{5}+\frac{\sqrt{5}}{5}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$. 故选C.]

【巩固迁移】
1.（2024·广东梅州模拟）已知cosα = $\frac{1}{3}$，且α为第四象限角，则tanα = （ ）
A. -2$\sqrt{2}$
B. ±2$\sqrt{2}$
C. ±$\frac{\sqrt{2}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{3}$

答案： [巩固迁移] 1. A [
∵α为第四象限角，
∴sinα＜0，
∴$\sin\alpha=-\sqrt{1 - \cos^{2}\alpha}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-2\sqrt{2}$. 故选A.]