《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

例5　　(2023·广东佛山高三模拟)在三棱锥S−ABC
　中,AB⊥平面SAC,AS⊥
$　SC,AB = 1,AC = \sqrt{2},E$为
　AB的中点,M为CE的中
　点，在线段SB上是否存在
　一点N,使MN//平面SAC？若存在，指出点N的位置并给出证明;若不存在，说明理由.
　　　　　　　　　　　　

答案：
例5 解 存在点N为SB上的靠近S的四等分点，即SN = $\frac{1}{4}$SB，使MN$//$平面SAC.
证明如下：取AE的中点F，连接FN，FM，则MF$//$AC，
因为AC⊂平面SAC，MF⊄平面SAC，
所以MF$//$平面SAC，
因为AF = $\frac{1}{2}$AE = $\frac{1}{4}$AB，SN = $\frac{1}{4}$SB，
所以FN$//$SA，
又SA⊂平面SAC，FN⊄平面SAC，
所以FN$//$平面SAC，
又MF∩FN＝F，MF，FN⊂平面MNF，
所以平面MNF$//$平面SAC，
又MN⊂平面MNF，所以MN$//$平面SAC.

5.(2024·河北衡水月考)如图1,菱形ABCD中，∠A = 60°,AB = 4,DE⊥AB于点E,将△AED 沿直线DE翻折到△A'ED,使A'E⊥BE,如图2.
　 　　A'
　　　　　　　　　　　　　
　(1)求三棱锥C−A'BD的体积;
　(2)在线段A'D上是否存在一点F,使EF//平面A'BC?若存在,求$\frac{DF}{FA'}$的值;若不存在,说明理由.

提示：同步《课时作业（A本）》P350

答案：
[巩固迁移] 5.解
(1)由题意可知，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝BC＝CD＝DA＝4，DE⊥AB，
故AE＝EB＝2，ED＝2$\sqrt{3}$，
所以在四棱锥A′－EBCD中，A′E⊥ED，A′E⊥EB，
又ED∩EB＝E，所以A′E⊥平面EBCD，且A′E＝AE＝2，
连接BD，因为BC＝CD＝4，∠BCD＝60°，
则S△BCD = $\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$ = 4$\sqrt{3}$，
所以VC - A′BD = VA′ - BCD = $\frac{1}{3}$S△BCD·A′E = $\frac{1}{3}$×4$\sqrt{3}$×2 = $\frac{8\sqrt{3}}{3}$.
故三棱锥C－A′BD的体积为$\frac{8\sqrt{3}}{3}$.
(2)设线段A′D的中点为F，线段A′C的中点为G，连接EF，FG，GB，
因为F为A′D的中点，G为A′C的中点，
所以FG$//$DC，FG = $\frac{1}{2}$DC = 2，
又由
(1)得，EB$//$DC，EB＝2，
所以FG$//$EB，FG＝EB，
所以四边形EBGF为平行四边形，
故EF$//$BG，EF＝BG，
又EF⊄平面A′BC，BG⊂平面A′BC，
所以EF$//$平面A′BC，此时F为A′D的中点，故$\frac{DF}{FA'}$ = 1.