《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

1. 概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心. ( )
(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线. ( )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切. ( )
(4)在圆中最长的弦是直径. ( )

答案： 1.
(1)√
(2)×
(3)√
(4)√

2. 小题热身
(1)(人教A选择性必修第一册习题2.5 T1改编)直线$y = x + 1$与圆$x^2 + y^2 = 1$的位置关系为 ( )
A. 相切
B. 相交但直线不过圆心
C. 直线过圆心
D. 相离

答案：
(1)B [圆心为(0,0)，到直线y = x + 1，即x - y + 1 = 0的距离d = $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，而0＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜1，所以直线与圆相交，但直线不过圆心.故选B.]

(2)(人教A选择性必修第一册2.5.2练习T2改编)圆$O_1:x^2 + y^2 - 2x = 0$与圆$O_2:x^2 + y^2 + 4y = 0$的位置关系是 ( )
A. 外离
B. 外切
C. 相交
D. 内切

答案：
(2)C [圆$O_1$：$x^{2}+y^{2}-2x = 0$的标准方程为$(x - 1)^{2}+y^{2}=1$，圆心为$O_1(1,0)$，半径为$r_1 = 1$，圆$O_2$：$x^{2}+y^{2}+4y = 0$的标准方程为$x^{2}+(y + 2)^{2}=4$，圆心为$O_2(0,-2)$，半径为$r_2 = 2$，所以两圆的圆心距为$\vert O_1O_2\vert=\sqrt{(1 - 0)^{2}+(0 + 2)^{2}}=\sqrt{5}$，所以1 = $\vert r_1 - r_2\vert$＜$\vert O_1O_2\vert$＜$r_1 + r_2 = 3$，因此两圆的位置关系为相交.故选C.]

(3)(人教A选择性必修第一册习题2.5 T2改编)以点$(3,-1)$为圆心且与直线$3x + 4y = 0$相切的圆的方程是______________.

答案：
(3)答案 $(x - 3)^{2}+(y + 1)^{2}=1$
解析 由题意得，$r=\frac{\vert3\times3 + 4\times(-1)\vert}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=1$，因此圆的方程为$(x - 3)^{2}+(y + 1)^{2}=1$.

(4)(人教A选择性必修第一册习题2.2 T3改编)已知圆$C:x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0$. 若一直线被圆$C$所截得的弦的中点为$M(2,3)$，则该直线的方程为______________.

答案：
(4)答案 $y = x + 1$
解析 圆$C$：$x^{2}+y^{2}-6x - 4y + 4 = 0$化为标准方程为$(x - 3)^{2}+(y - 2)^{2}=9$，则圆心为$C(3,2)$，$k_{CM}=\frac{3 - 2}{2 - 3}=-1$.设所求的直线为$m$.由圆的几何性质可知，$k_{m}\cdot k_{CM}=-1$，所以$k_{m}=1$，所以所求的直线方程为$y - 3 = 1\cdot(x - 2)$，即$y = x + 1$.