《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

预计2025年高考会从以下两个角度来考查：(1)等比数列及其前n项和的基本运算与性质，可能与等差数列综合出题，难度较小；(2)等比数列的综合应用，可能与函数、方程、不等式结合考查，难度中档.

答案：

1. 等比数列的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于________常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母$q$表示(显然$q\neq0$).
数学语言表达式：$\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}=$________（$n\geqslant2$，$q$为非零常数).
(2)等比中项：如果在$a$与$b$中间插入一个数$G$，使$a,G,b$成等比数列，那么$G$叫做$a$与$b$的等比中项. 此时$G^{2}=$________.
提醒：(1)“$G^{2}=ab$”是“$a,G,b$成等比数列”的必要不充分条件.
(2)只有当两个数同号时，这两个数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数.
(3)等比数列的奇数项符号相同，偶数项符号相同.

答案： 01同一个 02$q$ 03$ab$

2. 等比数列的通项公式及前$n$项和公式
(1)若等比数列$\{a_{n}\}$的首项为$a_{1}$，公比是$q$，则其通项公式为$a_{n}=$________；
通项公式的推广：$a_{n}=a_{m}q^{n - m}$.
(2)等比数列的前$n$项和公式：当$q = 1$时，$S_{n}=na_{1}$；当$q\neq1$时，$S_{n}=$________$=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1 - q}$.

答案： 04$a_{1}q^{n - 1}$ 05$\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}$

3. 等比数列的性质
已知$\{a_{n}\}$是等比数列，$S_{n}$是数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和.
(1)若$k + l = m + n(k,l,m,n\in\mathbf{N}^{*})$，则有$a_{k}a_{l}=$________.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即$a_{k},a_{k + m},a_{k + 2m},\cdots$仍是等比数列，公比为________.
(3)当$q\neq - 1$，或$q = - 1$且$n$为奇数时，$S_{n},S_{2n}-S_{n},S_{3n}-S_{2n},\cdots$仍成等比数列，其公比为________.

答案： 06$a_{m}a_{n}$ 07$q^{m}$ 08$q^{n}$