《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

3. 基本事实4和等角定理
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线__________.
等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角__________.

答案： 互相平行,相等或互补

4. 异面直线所成的角
（1）定义：已知$a$，$b$是两条异面直线，经过空间任意一点$O$作直线$a'// a$，$b'// b$，把$a'$与$b'$所成的角叫做异面直线$a$与$b$所成的角（或夹角）.
（2）范围：$\underline{}$.______

答案： $(0,\frac{\pi}{2}]$

1. 概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）两两相交的三条直线最多可以确定三个平面. （ ）
（2）没有公共点的两条直线是异面直线.（ ）
（3）两个平面$\alpha$，$\beta$有一个公共点$A$，就说$\alpha$，$\beta$相交于过点$A$的任意一条直线. （ ）

答案：
(1)√
(2)×
(3)×

2. 小题热身
（1）（人教A必修第二册习题8.4 T3改编）下列说法正确的是（ ）
A. 两组对边分别相等的四边形确定一个平面
B. 和同一条直线异面的两条直线一定共面
C. 与两异面直线分别相交的两条直线一定不平行
D. 一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交

答案： C [两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；如图1，直线$DD_1$与$B_1C_1$都是直线AB的异面直线，而$DD_1$与$B_1C_1$是异面直线，故B错误；如图2，直线AB与CD是异面直线，若$AC// BD$，有AC与BD确定一个平面$\alpha$，则$AC\subset\alpha$，$BD\subset\alpha$，所以$A\in\alpha$，$B\in\alpha$，$C\in\alpha$，$D\in\alpha$，所以$AB\subset\alpha$，$CD\subset\alpha$，这与直线AB与CD是异面直线矛盾，则直线AC与BD一定不平行，故C正确；如图1，$AB// CD$，而直线$AA_1$与AB相交，但与直线CD不相交，故D错误. 故选C.]

（2）（2023·四川绵阳中学诊断考试）已知直线$a$和平面$\alpha$，$\beta$，$\alpha\cap\beta = l$，$a\not\subset\alpha$，$a\not\subset\beta$，且$a$在$\alpha$，$\beta$内的射影分别为直线$b$和$c$，则直线$b$和$c$的位置关系是（ ）
A. 相交或平行 B. 相交或异面
C. 平行或异面 D. 相交、平行或异面

答案： D [依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面. 故选D.]

（3）（2024·湖北荆州中学阶段考试）如图所示，平面$\alpha\cap$平面$\beta = l$，$A\in\alpha$，$B\in\alpha$，$AB\cap l = D$，$C\in\beta$，$C\notin l$，则平面$ABC$与平面$\beta$的交线是（ ）
A. 直线$AC$ B. 直线$AB$
C. 直线$CD$ D. 直线$BC$

答案： C [由题意知，$D\in l$，$l\subset\beta$，所以$D\in\beta$，又因为$D\in AB$，所以$D\in$平面ABC，所以点D在平面ABC与平面$\beta$的交线上. 又因为$C\in$平面ABC，$C\in\beta$，所以点C在平面$\beta$与平面ABC的交线上，所以平面$ABC\cap$平面$\beta =CD$. 故选C.]

（4）（2024·浙江杭州二中月考）如图，在三棱柱$ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$中，底面三角形$A_{1}B_{1}C_{1}$是正三角形，$E$是$BC$的中点，则下列叙述正确的是（ ）
A. $CC_{1}$与$B_{1}E$是异面直线
B. $CC_{1}$与$AE$共面
C. $AE$与$B_{1}C_{1}$是异面直线
D. $AE$与$B_{1}C_{1}$所成的角为$60^{\circ}$

答案： C [由于$CC_1$与$B_1E$都在平面$C_1B_1BC$内，故$CC_1$与$B_1E$是共面的，A错误；由于$CC_1\subset$平面$C_1B_1BC$，而AE与平面$C_1B_1BC$交于点E，点E不在$CC_1$上，故$CC_1$与AE是异面直线，B错误；同理，AE与$B_1C_1$是异面直线，C正确；而AE与$B_1C_1$所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，$\triangle ABC$为正三角形，所以$AE\perp BC$，D错误. 故选C.]

例1 如图所示，在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$E$，$F$分别是$AB$，$AA_{1}$的中点，连接$D_{1}F$，$CE$. 求证：
(1)$E$，$C$，$D_{1}$，$F$四点共面；
(2)$CE$，$D_{1}F$，$DA$三线共点.
　　　　　　　　　　　　　

答案：
证明　
(1)如图所示，连接CD₁，EF，A₁B，
∵E，F分别是AB，AA₁的中点，
∴EF//A₁B，且EF = $\frac{1}{2}$A₁B.
又A₁D₁//BC，A₁D₁ = BC，
∴四边形A₁BCD₁是平行四边形，
∴A₁B//CD₁，
∴EF//CD₁，
∴EF与CD₁能够确定一个平面ECD₁F，
即E，C，D₁，F四点共面.

(2)由
(1)知EF//CD₁，且EF = $\frac{1}{2}$CD₁，
∴四边形CD₁FE是梯形，
∴CE与D₁F必相交，设交点为P，则P∈CE，且P∈D₁F，
∵CE⊂平面ABCD，D₁F⊂平面A₁ADD₁，
∴P∈平面ABCD，且P∈平面A₁ADD₁.
又平面ABCD∩平面A₁ADD₁ = DA，
∴P∈DA，
∴CE，D₁F，DA三线共点.