《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

5. 已知函数$y = f(x - 1)$的定义域为$[1,3]$，则函数$y = f(\log_{3}x)$的定义域为 （ ）
A. $[0,1]$
B. $[1,9]$
C. $[0,2]$
D. $[0,9]$

答案： B[由$x\in[1,3]$，得$x - 1\in[0,2]$，所以$\log_3x\in[0,2]$，所以$x\in[1,9]$.故选B.]

6.（2024·黑龙江牡丹江三中高三月考）若函数$y = f(x)$的定义域是$[0,2]$，则函数$g(x)=\frac{f(2x)}{x - 1}$的定义域为________.

答案： 答案　$[0,1)$
解析　由题意知$\begin{cases}0\leq2x\leq2\\x - 1\neq0\end{cases}$，解得$0\leq x＜1$，所以$g(x)$的定义域是$[0,1)$.

例4 （1）已知$f(|x - 1|)=x^{2}-2x + 3$，求$f(x)$的解析式；
（2）已知$f(x)$是二次函数，且$f(0)=0$，$f(x + 1)=f(x)+x + 1$，求$f(x)$的解析式；
（3）已知函数$f(x)$满足$f(\cos x - 1)=\cos 2x - 1$，求$f(x)$的解析式；
（4）已知$f(x)$满足$2f(x)+f(-x)=3x$，求$f(x)$的解析式.

答案： 解　
(1)(配凑法)因为$f(|x - 1|)=x^2 - 2x + 3=(x - 1)^2+2=|x - 1|^2+2，$所以$f(x)=x^2+2(x\geq0).(2)($待定系数法)设$f(x)=ax^2+bx + c(a\neq0)，$由f
(0)=0，知c = 0，所以$f(x)=ax^2+bx.$又由f(x + 1)=f(x)+x + 1，得$a(x + 1)^2+b(x + 1)=ax^2+bx+x + 1，$即$ax^2+(2a + b)x+a + b=ax^2+(b + 1)x + 1，$
所以$\begin{cases}2a + b=b + 1\\a + b=1\end{cases}，$解得$a = b=\frac{1}{2}.$所以$f(x)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x,x\in R.(3)($换元法$)f(\cos x - 1)=\cos2x - 1=2\cos^2x - 1 - 1=2\cos^2x-2，$
设$\cos x - 1=t，$则$\cos x=t + 1，$由$\cos x\in[-1,1]$知$t\in[-2,0]，$
故原函数可转化为$f(t)=2(t + 1)^2 - 2=2t^2+4t,t\in[-2,0]，$
即f(x)的解析式为$f(x)=2x^2+4x(-2\leq x\leq0).(4)($解方程组法)因为2f(x)+f(-x)=3x， ①
所以将x用-x替换，得2f(-x)+f(x)=-3x， ②
由①②解得f(x)=3x.

7. 已知函数$f(x^{2}+1)=x^{4}$，则函数$y = f(x)$的解析式是 （ ）
A. $f(x)=(x - 1)^{2}$，$x\geqslant 0$
B. $f(x)=(x - 1)^{2}$，$x\geqslant 1$
C. $f(x)=(x + 1)^{2}$，$x\geqslant 0$
D. $f(x)=(x + 1)^{2}$，$x\geqslant 1$

答案： B[$f(x^2 + 1)=x^4=(x^2 + 1)^2 - 2(x^2 + 1)+1$，且$x^2 + 1\geq1$，所以$f(x)=x^2 - 2x + 1=(x - 1)^2,x\geq1$.故选B.]

8. 已知$f(x)$是一次函数，且$f(f(x))=4x + 3$，则$f(x)$的解析式为________.

答案： 答案　$f(x)=-2x - 3$或$f(x)=2x + 1$
解析　设$f(x)=ax + b(a\neq0)$，则$f(f(x))=f(ax + b)=a(ax + b)+b=a^2x+ab + b=4x + 3$.所以$\begin{cases}a^2=4\\ab + b=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-2\\b=-3\end{cases}$或$\begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}$.故$f(x)=-2x - 3$或$f(x)=2x + 1$.

9. 已知$f(x^{6})=\log_{2}x$，则$f(8)=$________.

答案： 答案　$\frac{1}{2}$
解析　令$x^6=t,t＞0$，则$x=t^{\frac{1}{6}}$，则$f(t)=\log_2t^{\frac{1}{6}}=\frac{1}{6}\log_2t$，故$f(8)=\frac{1}{6}\log_28=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

10.（2024·福建泉州高三模拟）设函数$f(x)$对$x\neq 0$的一切实数均有$f(x)+2f(\frac{2024}{x})=3x$，则$f(2024)=$________.

答案： 答案　$-2022$
解析　$\because f(x)+2f(\frac{2024}{x})=3x,\therefore f(\frac{2024}{x})+2f(x)=\frac{3\times2024}{x}$，联立，得$-3f(x)=3x-\frac{3\times2\times2024}{x}$，$\therefore f(x)=-x+\frac{2\times2024}{x}$，$\therefore f(2024)=-2024 + 2=-2022$.