《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

1. 概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
　(1)$\log_{a}(MN)=\log_{a}M+\log_{a}N$.　　　　(　　　)
(2)$\log_{a}x\cdot\log_{a}y=\log_{a}(x + y)$.　　　　(　　　)
　(3)$\log_{2}x^{2}=2\log_{2}x$.　　　　　　　　　　(　　　)
　(4)函数$y=\log_{2}x$与$y=\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{x}$的图象重合.
　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)

答案：
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√

2. 小题热身
　(1)(人教A必修第一册习题4.3 T5改编)设$\lg2 = a$，$\lg3 = b$，则$\log_{12}10=$（ ）
A. $\frac{1}{2a + b}$
B. $\frac{1}{a + 2b}$
C. $2a + b$
D. $2b + a$

答案： A $[\log_{12}10=\frac{1}{\lg12}=\frac{1}{\lg3 + 2\lg2}=\frac{1}{2a + b}.]$

　(2)下列函数中，其定义域和值域分别与函数$y = 10^{\lg x}$的定义域和值域相同的是（ ）
A. $y = x$
B. $y=\lg x$
C. $y = 2^{x}$
D. $y=\frac{1}{\sqrt{x}}$

答案： D

　(3)已知实数$a=\log_{3}2$，$b=\log_{2}\pi$，$c=\log_{2}\sqrt{10}$，则（ ）
A. $a ＜ b ＜ c$
B. $a ＜ c ＜ b$
C. $c ＜ a ＜ b$
D. $c ＜ b ＜ a$

答案： A

　(4)(人教B必修第二册4.2.3尝试与发现(2)改编)已知函数$y=\log_{a}(x - 3)-1(a＞0$,且$a≠1)$的图象恒过定点$P$，则点$P$的坐标是____.

答案： $(4,-1)$

例1　　(1)(多选)下列各式化简运算结果为1 的是　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A. $\log_{5}3\times\log_{3}2\times\log_{2}5$
　
B. $\lg\sqrt{2}+\frac{1}{2}\lg5$
　
C. $\log_{\sqrt{a}}a^{2}(a＞0，且a\neq1)$
　
D. $\mathrm{e}^{\ln3}-0.125^{-\frac{1}{3}}$

答案： AD　[对于A，原式=$\frac{\lg 3}{\lg 5}\times\frac{\lg 2}{\lg 3}\times\frac{\lg 5}{\lg 2}=1$；对于B，原式=$\frac{1}{2}\lg 2+\frac{1}{2}\lg 5=\frac{1}{2}\lg(2\times5)=\frac{1}{2}$；对于C，原式=$2\log_{\sqrt{2}}a=2\times2 = 4$；对于D，原式=$3 - 8^{\frac{1}{3}}=3 - 2 = 1$. 故选AD.]

(2)已知正实数$x,y,z$满足$3^{x}=4^{y}=(2\sqrt{3})^{z}$，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A. $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$　　　　B. $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x}$
　
C. $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{z}$　　　　　D. $\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{2}{y}$

答案： C　[令$3^{x}=4^{y}=(2\sqrt{3})^{z}=a$，则$x=\log_{3}a$，$y=\log_{4}a$，$z=\log_{2\sqrt{3}}a$，故$\frac{1}{x}=\log_{a}3$，$\frac{1}{y}=\log_{a}4$，$\frac{1}{z}=\log_{a}2\sqrt{3}$，故$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\log_{a}12 = 2\log_{a}\sqrt{12}=\frac{2}{z}$. 故选C.]

1. 化简$(2\log_{4}3+\log_{8}3)(\log_{3}2+\log_{9}2)$的值为
　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A. 1　　　
　B. 2　　　
　C. 4　　　
　D. 6

答案： B　[原式=$(2\times\frac{1}{2}\log_{2}3+\frac{1}{3}\log_{2}3)(\log_{3}2+\frac{1}{2}\log_{3}2)=\frac{4}{3}\log_{2}3\times\frac{3}{2}\log_{3}2 = 2$. 故选B.]