《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

1. 已知集合A = {x∈R|x² + a＞0}，且2∉A，则实数a的取值范围是 （ ）
A. {a|a≤4}
B. {a|a≥4}
C. {a|a≤ - 4}
D. {a|a≥ - 4}

答案： C [由题意可得2² + a ≤ 0，解得a ≤ - 4。故选C。]

2. 已知集合A = {(x,y)|x² + y²≤3,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为 （ ）
A. 9
B. 8
C. 5
D. 4

答案： A [集合A = {(x,y)|x² + y² ≤ 3,x ∈ Z,y ∈ Z} = {(- 1,- 1),(- 1,0),(- 1,1),(0,- 1),(0,0),(0,1),(1,- 1),(1,0),(1,1)}，共9个元素。故选A。]

3. 设a,b∈R，集合${1,a + b,a} = {0, \frac{b}{a},b}，$则a²⁰²⁴ + b²⁰²⁴ = ________.

答案： 答案 2
解析 由题意知a ≠ 0，因为${1,a + b,a} = {0, \frac{b}{a},b}，$所以a + b = 0，则$\frac{b}{a} = - 1，$所以a = - 1，b = 1。故a²⁰²⁴ + b²⁰²⁴ = 1 + 1 = 2。

例2 （1）（2023·新课标Ⅱ卷）设集合A = {0, - a}，B = {1,a - 2,2a - 2}，若A⊆B，则a = （ ）
$A. 2 B. 1 C. \frac{2}{3} D. - 1$

答案： B [因为A ⊆ B，所以a - 2 = 0或2a - 2 = 0，解得a = 2或a = 1。若a = 2，此时A = {0,- 2}，B = {1,0,2}，不符合题意；若a = 1，此时A = {0,- 1}，B = {1,- 1,0}，符合题意。综上所述，a = 1。故选B。]

（2）已知集合A = {x| - 2≤x≤5}，B = {x|m + 1≤x≤2m - 1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________.

答案： 答案 (-∞,3]
解析
∵B ⊆ A，
∴若B = ∅，则2m - 1 ＜ m + 1，解得m ＜ 2；若B ≠ ∅，则$\begin{cases}2m - 1 ≥ m + 1 \\ m + 1 ≥ - 2 \\ 2m - 1 ≤ 5\end{cases}，$解得2 ≤ m ≤ 3。综上，实数m的取值范围为(-∞,3]。

4. 设集合P = {y|y = x² + 1}，M = {x|y = x² + 1}，则集合M与集合P的关系是 （ ）
A. M = P
B. P∈M
C. M⫋P
D. P⫋M

答案： D [因为P = {y|y = x² + 1} = {y|y ≥ 1}，M = {x|y = x² + 1} = R，所以P⫋M。]

5. （2024·湖南湘潭模拟）若集合A = {1,2}，B = {x|x² + mx + 1 = 0,x∈R}，且B⊆A，则实数m的取值范围为________.

答案： 答案 [- 2,2)
解析 若B = ∅，则Δ = m² - 4 ＜ 0，解得 - 2 ＜ m ＜ 2，符合题意；若1 ∈ B，则1² + m + 1 = 0，解得m = - 2，此时B = {1}，符合题意；若2 ∈ B，则2² + 2m + 1 = 0，解得$m = - \frac{5}{2}，$此时$B = {2,\frac{1}{2}}，$不符合题意。综上所述，实数m的取值范围为[- 2,2)。

例3 （1）（2023·新课标Ⅰ卷）已知集合M = { - 2, - 1,0,1,2}，N = {x|x² - x - 6≥0}，则M∩N = （ ）
A. { - 2, - 1,0,1}
B. {0,1,2}
C. { - 2}
D. 2

答案： C [因为N = {x|x² - x - 6 ≥ 0} = (-∞,- 2]∪[3,+∞)，而M = {- 2,- 1,0,1,2}，所以M ∩ N = {- 2}。故选C。]

（2）（2024·山东潍坊高三上学期月考）已知集合A = {x|x² - x - 2＜0}，$B = {x|e^x＜1}，$则A∪B = （ ）
A. ( - ∞,1)
B. ( - ∞,2)
C. ( - 2,0)
D. ( - 1,2)

答案： B [由题意，A = {x|x² - x - 2 ＜ 0} = {x|- 1 ＜ x ＜ 2}，$B = {x|e^x ＜ 1} = {x|x ＜ 0}，$所以A ∪ B = (-∞,2)。故选B。]