《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

考向1 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)$f(x)=\sqrt{3 - x^{2}}+\sqrt{x^{2} - 3}$；
(2)$f(x)=\frac{\lg(1 - x^{2})}{\vert x - 2\vert - 2}$；
(3)$f(x)=(x + 1)\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$；
(4)$f(x)=\begin{cases}x^{2}+x,x＜0，\\-x^{2}+x,x＞0.\end{cases}$

答案： 解
(1)由$\begin{cases}3 - x^{2}\geqslant0,\\x^{2} - 3\geqslant0,\end{cases}$得$x^{2}=3$，解得$x = \pm\sqrt{3}$，
即函数$f(x)$的定义域为$\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\}$，
从而$f(x)=\sqrt{3 - x^{2}}+\sqrt{x^{2} - 3}=0$．
因此$f(-x)=-f(x)$且$f(-x)=f(x)$，
$\therefore$函数$f(x)$既是奇函数又是偶函数．
(2)由$\begin{cases}1 - x^{2}＞0,\\|x - 2|\neq2,\end{cases}$得$f(x)$的定义域为$(-1,0)\cup(0,1)$，关于原点对称．$\therefore x - 2＜0$，$\therefore|x - 2|-2=-x$，
$\therefore f(x)=\frac{\lg(1 - x^{2})}{-x}$．
又$f(-x)=\frac{\lg[1 - (-x)^{2}]}{x}=-\frac{\lg(1 - x^{2})}{-x}=-f(x)$，
$\therefore$函数$f(x)$为奇函数．
(3)由$\begin{cases}\frac{1 - x}{1 + x}\geqslant0,\\1 + x\neq0,\end{cases}$得$-1＜x\leqslant1$，
$\because f(x)$的定义域$(-1,1]$不关于原点对称，
$\therefore f(x)$既不是奇函数，也不是偶函数．
(4)显然函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，关于原点对称．
当$x＜0$时，$-x＞0$，则$f(-x)=-(-x)^{2}-x=-x^{2}-x=-f(x)$；
当$x＞0$时，$-x＜0$，则$f(-x)=(-x)^{2}-x=x^{2}-x=-f(x)$．
综上可知，对于定义域内的任意$x$，总有$f(-x)=-f(x)$成立，
$\therefore$函数$f(x)$为奇函数．

[巩固迁移]
1.设函数$f(x)=\frac{1 - x}{1 + x}$，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A.$f(x - 1) - 1$
B.$f(x - 1) + 1$
C.$f(x + 1) - 1$
D.$f(x + 1) + 1$

答案： [解法一：因为$f(x)=\frac{1 - x}{1 + x}=-1+\frac{2}{x + 1}$，其图象关于点$(-1,-1)$中心对称，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后关于原点$(0,0)$中心对称，所以$f(x - 1)+1$为奇函数．故选B．
解法二：因为$f(x)=\frac{1 - x}{1 + x}$，所以$f(x - 1)=\frac{1-(x - 1)}{1+(x - 1)}=\frac{2 - x}{x}$，$f(x + 1)=\frac{1-(x + 1)}{1+(x + 1)}=\frac{-x}{x + 2}$．对于A，$F(x)=f(x - 1)-1=\frac{2 - x}{x}-1=\frac{2 - 2x}{x}$，定义域关于原点对称，但不满足$F(x)=-F(-x)$；对于B，$G(x)=f(x - 1)+1=\frac{2 - x}{x}+1=\frac{2}{x}$，定义域关于原点对称，且满足$G(x)=-G(-x)$；对于C，$f(x + 1)-1=\frac{-x}{x + 2}-1=-\frac{2x + 2}{x + 2}$，定义域不关于原点对称；对于D，$f(x + 1)+1=\frac{-x}{x + 2}+1=\frac{2}{x + 2}$，定义域不关于原点对称．故选B．]

考向2 函数奇偶性的应用
例2 (1)已知函数$f(x)$为奇函数且定义域为$\mathbf{R}$，当$x＞0$时，$f(x)=x + 1$，则当$x＜0$时，$f(x)=$（ ）
A.$x - 1$ B.$x + 1$
C.$-x - 1$ D.$-x + 1$

答案：
(1)A [当$x＜0$时，$-x＞0$，$f(x)=-f(-x)=-(-x + 1)=x - 1$．故选A．]

(2)(2023·新课标Ⅱ卷)若$f(x)=(x + a)\cdot\ln\frac{2x - 1}{2x + 1}$为偶函数，则$a=$（ ）
A.$-1$ B.$0$ C.$\frac{1}{2}$ D.$1$

答案：
(2)B [解法一：因为$f(x)$为偶函数，则$f(1)=f(-1)$，即$(1 + a)\ln\frac{1}{3}=(-1 + a)\ln3$，解得$a = 0$．当$a = 0$时，$f(x)=x\ln\frac{2x - 1}{2x + 1}$，由$(2x - 1)(2x + 1)＞0$，解得$x＞\frac{1}{2}$或$x＜-\frac{1}{2}$，则其定义域为$\{x|x＞\frac{1}{2}或x＜-\frac{1}{2}\}$，关于原点对称．$f(-x)=(-x)\ln\frac{2(-x)-1}{2(-x)+1}=(-x)\ln\frac{2x + 1}{2x - 1}=(-x)\ln(\frac{2x - 1}{2x + 1})^{-1}=x\ln\frac{2x - 1}{2x + 1}=f(x)$，故此时$f(x)$为偶函数．故选B．
解法二：设$g(x)=\ln\frac{2x - 1}{2x + 1}$，易知$g(x)$的定义域为$(-\infty,-\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty)$，关于原点对称，且$g(-x)=\ln\frac{-2x - 1}{-2x + 1}=\ln\frac{2x + 1}{2x - 1}=-\ln\frac{2x - 1}{2x + 1}=-g(x)$，所以$g(x)$为奇函数．若$f(x)=(x + a)\ln\frac{2x - 1}{2x + 1}$为偶函数，则$y = x + a$也应为奇函数，所以$a = 0$．故选B．]

[巩固迁移]
2.若函数$f(x)=\begin{cases}g(x),x＜0，\\2^{x}-3,x＞0\end{cases}$为奇函数，则$f(g(-1))=$_______.

答案： 答案 -1
解析 $\because f(x)$为奇函数且$f(-1)=g(-1)$，$\therefore f(-1)=-f(1)=-(-1)=1$，$\therefore g(-1)=1$，$\therefore f(g(-1))=f(1)=-1$．